Baccalauréat C Clermont Ferrand juin
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Français
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1981
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1981 \ EXERCICE 1 3 POINTS n désigne un entier naturel. 1. Étudier suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 7n par 9. 2. Démontrer que, quel que soit n, 7n +12n?1 est divisible par 9. EXERCICE 2 5 POINTS Le symbole ln désigne le logarithme népérien. (Les candidats peuvent toutefois, s'ils le désirent le remplacer par log). Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f (x)= ln e 2x +5 ex ?2 sur l'ensemble E des points de R pour lesquels cette expression a un sens. (C ) est la courbe représentative de la fonction f , construite relativement à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 1. a. Quel est l'ensemble E de définition de la fonction f ? b. Étudier le sens des variations de f , ainsi que ses limites éventuelles aux bornes de l'ensemble E . c. On pose pour tout x appartenant à E : ?(x)= f (x)? x. Étudier la limite éventuelle de ?(x) lorsque x tend vers +∞, ainsi que le signe de ?(x). Que peut-on en conclure pour (C ) ? d.
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[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1981 \ EXERCICE 1 3 POINTS n désigne un entier naturel. 1. Étudier suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 7n par 9. 2. Démontrer que, quel que soit n, 7n +12n?1 est divisible par 9. EXERCICE 2 5 POINTS Le symbole ln désigne le logarithme népérien. (Les candidats peuvent toutefois, s'ils le désirent le remplacer par log). Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f (x)= ln e 2x +5 ex ?2 sur l'ensemble E des points de R pour lesquels cette expression a un sens. (C ) est la courbe représentative de la fonction f , construite relativement à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 1. a. Quel est l'ensemble E de définition de la fonction f ? b. Étudier le sens des variations de f , ainsi que ses limites éventuelles aux bornes de l'ensemble E . c. On pose pour tout x appartenant à E : ?(x)= f (x)? x. Étudier la limite éventuelle de ?(x) lorsque x tend vers +∞, ainsi que le signe de ?(x). Que peut-on en conclure pour (C ) ? d.
- raisonnements évitant des calculs superflus
- tion cartésienne dépendant
- nature de l'application st
- repère
- signe de ?
[Baccalauréat C ClermontFerrandjuin 1981\
EX E R C IC E1 3P O IN TS ndésigne un entier naturel. n 1.Étudier suivant les valeurs den, le reste de la division euclidienne de 7par 9. n 2.Démontrer que, quel que soitn, 7+12n−1 est divisible par 9.
EX E R C IC E2 5P O IN TS Le symbole ln désigne le logarithme népérien. (Les candidats peuvent toutefois, s’ils le désirent le remplacer par log). Soitfla fonction numérique de la variable réellexdéfinie par 2x e+5 f(x)=ln x e−2 sur l’ensembleEdes points deRpour lesquels cette expression a un sens. (C) est la courbe représentative de la fonctionf, construite relativement à un repère ³ ´ −→−→ orthonormé O,ı,.
1. a.Quel est l’ensembleEde définition de la fonctionf? b.Étudier le sens des variations def, ainsi que ses limites éventuelles aux bornes de l’ensembleE. c.On pose pour toutxappartenant àE:
ϕ(x)=f(x)−x.
Étudier la limite éventuelle deϕ(x) lorsquextend vers+∞, ainsi que le signe deϕ(x). Que peuton en conclure pour (C) ? d.Tracer (C). 2.Soit A l’image de ] ln 2 ; ln 5[ parfetFl’application de ]ln 2 ;ln 5[ sur A, définie pour toutx; lnln 2appartenant à ]5[ parF(x)=f(x). Montrer queEadmet une application réciproqueGdont on précisera les pro priétés : sens des variations, continuité, dérivabilité. Tracer sur la même figure que (C) la courbe représentative deG.
PR O B L È M E12P O IN TS Tout au long du problème les résultats qui seront obtenus par des raisonnements évitant des calculs superflus seront spécialement appréciés par le correcteur. ³ ´ −→−→ Le plan affine euclidien orientéEO,est rapporté à un repère orthonormé directı,. (On rappelle que, dansE, chaque angleαde vecteurs est associé à un nombre réel uniquetde l’intervalle ]−π;+π] qui est appelé sa détermination principale, ou sa mesure principale, qui vérifie cosα=cost, sinα=sint, et qui permet de le caracté ′ riser. On rappelle également que chaque angleαde droites est associé à un nombre réel unique de l’intervalle ]−π;+π] qui est encore appelé sa détermination princi pale ou sa mesure principale, et qui est la détermination principale de l’un des deux ′ angles de vecteurs qui représententα). Dans tout le problème aest un nombre réel strictement positif,
Le baccalauréat de 1981
A. P. M. E. P.
A est le point deEde coordonnées (a; 0), D est la droite d’équationx=a, fest une fonction réelle strictement positive de la variable réellet, définie sur l’intervalle ]−π;+π]. ³ ´ −→−→ Les affixes sont prises relativement au repèreO,ı,. Pour chaque valeur du paramètret, on notest, l’application deEdansEqui à tout pointMd’affixezfait correspondre le pointMt=st(M) d’affixezt, telle que zt=f(t)(cost+i sint)z. Partie A Quelle est la nature de l’applicationst? Quels sont les éléments géométriques qui la caractérisent ? ³ ´ −→−→ Donner les équations qui la définissent analytiquement par rapport au repèreO,ı,. −1 Donner également les équations qui définissent analytiquements. t Partie B i h π π Dans toute cette partie, la fonctionfest définie pour touttappartenant à−; 2 2 1 parf(t)=. cost i h π π 1.Montrer que siMest distinct de O, alors, pour touttappartenant à−; 2 2 le triangle OM Mtest rectangle enM. Quel est l’ensembleJ(M) décrit par le i h π π pointMt, lorsquetdécrit l’intervalle−; ,le pointMrestant fixe ? 2 2 2.Montrer que l’image de D parst, est une droite Dt, dont on donnera une équa tion cartésienne dépendant seulement des paramètresaet tant. Montrer que la parabole P de foyer O, dont la tangente au sommet est D, a pour équation
2 y=4a(a−x). i h π π Montrer que pour touttappartenant à l’intervalle−; ,l’intersection de 2 2 Dtet de P est formée par un point unique K, et que Dtest tangente à P en ce point. i h π π Montrer que lorsquetdécrit l’intervalle−décrit toute la parabole P.; , 2 2 3.On noteCun cercle de centre A, dont le rayonRest strictement positif et différent dea. On désigne parΓla conique définie relativement au repère ³ ´ −→−→ O,ı,par l’équation
2 2 (x−a)y + =1. 2 22 R R−a Indiquer suivant les valeurs deR, la nature de la coniqueΓ. Déterminer son centre et ses foyers. Déterminer le centre et le rayon du cercleCt, image deCparst. Montrer queCtest défini par l’équation :
2 22 2 (x−a)+(y−atant)=R(1+tant).
Montrer que lorsqueCtetΓse coupent, leur intersection est formée de deux ′ pointsNtetNsymétriques par rapport à D et on calculera l’ordonnée. t
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Le baccalauréat de 1981
A. P. M. E. P.
Partie C Dans toute cette partie, la fonctionfest définie pour touttappartenant à l’intervalle i h π π −; parf(t)=cost. 2 2 On pose toujoursMt=st(M). 1.Montrer que lorsqueMest distinct de O, le triangle OM Mtest rectangle en Mt. Quel est l’ensemble décrit parMt, lorsquetdécrit l’intervalle le pointMres tant fixe ? 2.On prendt6=0, on poseAt=st(A). Donner la détermination principale de l’angle de droites défini par le couple (A M), (At,Mt)). SoitHtle point d’intersection des droites (AM) et (At,Mt). Montrer que les points 0,Ht,A,Atsont cocycliques. Montrer que les points 0,HtM,Mtsont cocycliques. Quelle est la projection orthogonale de O sur la droite (A M) ? 3.Soit Dt, l’image de D parst. Montrer que lorsquetvarie , Dtpasse par un point fixe.
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