Baccalauréat C Bordeaux juin
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Français
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1977
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS n étant un entier relatif quelconque, on pose : A =n?1 et B =n2?3n+6 1. a. Montrer que le p.g.c.d. de A et B est égal au p.g.c.d. de A et 4. b. Déterminer, suivant les valeurs de n, le p.g.c.d. de A et B . 2. Pour quelles valeurs de l'entier relatif n, le nombre n 2?3n+6 n?1 est-il un entierrelatif ? EXERCICE 2 3 POINTS Dans E, plan affine euclidien, A, B et C sont les sommets d'un triangle équilatéral, tels que ? ? ? ???AB ? ? ?= ? ? ? ???AC ? ? ?= ? ? ? ???BC ? ? ?= d , où d est un réel positif non nul. 1. Déterminer l'ensemble des réels a tels que les points A, B, C affectés respecti- vement des coefficients a, 1, 1, admettent un barycentreGa . Quel est l'ensemble des points Ga ainsi obtenus ? 2. On prend a = 1. Déterminer le pointG1 correspondant. On pose f1(M)=MA2+MB2+MC2.
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[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS n étant un entier relatif quelconque, on pose : A =n?1 et B =n2?3n+6 1. a. Montrer que le p.g.c.d. de A et B est égal au p.g.c.d. de A et 4. b. Déterminer, suivant les valeurs de n, le p.g.c.d. de A et B . 2. Pour quelles valeurs de l'entier relatif n, le nombre n 2?3n+6 n?1 est-il un entierrelatif ? EXERCICE 2 3 POINTS Dans E, plan affine euclidien, A, B et C sont les sommets d'un triangle équilatéral, tels que ? ? ? ???AB ? ? ?= ? ? ? ???AC ? ? ?= ? ? ? ???BC ? ? ?= d , où d est un réel positif non nul. 1. Déterminer l'ensemble des réels a tels que les points A, B, C affectés respecti- vement des coefficients a, 1, 1, admettent un barycentreGa . Quel est l'ensemble des points Ga ainsi obtenus ? 2. On prend a = 1. Déterminer le pointG1 correspondant. On pose f1(M)=MA2+MB2+MC2.
- ???bc ?
- réelle positive
- symétries vectorielles
- élé- ments inversibles
- respecti- vement des coefficients
- coordonnées
- variable réelle
[Baccalauréat C Bordeaux juin 1977\
EX E R C IC E1 nétant un entier relatif quelconque, on pose :
4P O IN TS
2 A=n−1 etB=n−3n+6 1. a.Montrer que le p.g.c.d. de A et B est égal au p.g.c.d. deAet 4. b.Déterminer, suivant les valeurs den, le p.g.c.d. deAetB. 2 n−3n+6 2.Pour quelles valeurs de l’entier relatifn, le nombreestil un entier n−1 relatif ?
EX E R C IC E2 3P O IN TS Dans E, plan affine euclidien, A, B et C sont les sommets d’un triangle équilatéral, −→−→−→ tels que°AB°=°AC°=°BC°=d, oùdest un réel positif non nul.
1.Déterminer l’ensemble des réelsatels que les points A, B, C affectés respecti vement des coefficientsa, 1, 1, admettent un barycentreGa. Quel est l’ensemble des pointsGaainsi obtenus ? 2.On prenda=1. Déterminer le pointG1correspondant. 2 2 2 On posef1(M)=MA+MB+MC .Déterminer l’ensemble des pointsMtels 2 quef1(M)=2d. 3.On prenda= −2. −→−−→−−→−−→ Montrer que le vecteurV(M)= −2MA+MB+Mun vecteur indépenC est dant deMqu’on précisera. 2 2 2 Déterminer l’ensemble des pointsMtels quef2(M)= −2MA+MB+MC soit égal à 0.
PR O B L È M E
13P O IN TS
Partie A ³ ´ −→−→ SoitPun plan vectoriel muni d’une baseı,. Pour tout couple (a;b) de réels, on définit une application linéaire dePdansP, notéeϕa,bdont la matrice dans la ³ ´ −→−→ baseı,est : µ ¶ a−b b 0a+b On désigne parAl’ensemble des applications linéairesϕa,blorsqueaetbdécrivent R.
1. a.Quelle est la nature deϕ1, 0? b.Montrer queϕ1, 0est une symétrie vectorielle dont on précisera les élé ments caractéristiques.
Le baccalauréat de 1977
A. P. M. E. P.
c.Montrer queAest un sousespace vectoriel de l’espace vectoriel des ap ¡ ¢ plications linéaires dePdansPet vérifier queϕ1, 0;ϕ0, 1est une base deA. Quelles sont les coordonnées deϕa,bdans cette base ? Pour faire, de l’ensembleEdes applications linéaires dePdansP, un espace vectoriel surR, on définit les opérations + et . comme suit : •sifetgsont dansE,f+gest défini par : ³ ´³ ´³ ´ −→ −→−→ (f+g)x=f x+g x.
•sifest dansE, etλdansR,λ∙fest défini par : ³ ´³ ´ −→−→ (λ∙f)x=fλx.
2.On munitAde la loi d’addition des applications linéaires dePdansPnotée + et de la loi de composition des applications linéaires dePdansPnotée◦. Montrer que (A,+,◦) est un anneau commutatif, unitaire. Déterminer les élé ments inversibles de cet anneau.
Partie B ³ ´ −→−→ Soit (P) un plan affine d’espace vectoriel associé àP. On munit (P) du repèreO,ı,. Pour tout réelbnon nul, on notefbl’application affine de (P) dans (P) qui au point mde coordonnées (x;y) associe le pointMde coordonnées (X;Y) défini par ½ X= −b x+b y+1 Y=b y
1.Vérifier que l’application linéaire associée àfbappartient à l’ensembleAdé fini à la partie A. 2.Déterminer, suivant les valeurs deb, l’ensemble des points invariants parfb. 3. a.On suppose :b=1. Montrer quef1est la symétrie par rapport à la droite ′ d’équationy=2x−1 parallèlement à l’axexOx. b.On suppose :b= −1. Montrer quef1est la composée commutative d’une symétrie par rapport à une droite contenant O et d’une translation. c.On suppose :b6=1 etb6= −1. Montrer quef best la composée commu tative d’une homothétie et d’une symétrie par rapport à une droite.
Partie C ³ ´ −→−→ On suppose maintenant que (P) est un plan affine euclidien et que le repèreO,ı,est orthonormé. On considère le mouvement d’un pointmde (P) dont les coordonnées sont données par : ½ t x= −2t+2e+1 ,tréel quelconque. (test la date) t y= −2t+4e+1 On note (γ) la trajectoire du pointmlorsquetdécritR.
1.Montrer que (γ) admet en chacun de ses points une tangente et montrer qu’il existe un unique point A de (γ), que l’on déterminera, tel que la tangente en A ′ à (γ) soit parallèle à l’axeyOy. 2.SoitMle transformé du pointmpar la symétrief1définie à la partie B. Quelles sont, en fonction det, les coordonnées (X;Y) du pointM? CalculerYen fonction deX.
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Le baccalauréat de 1977
A. P. M. E. P.
3.Soit la fonction numériqueFdéfinie par µ ¶ 2 F(X)=2Log+2X−1 X−1 (Xétant une variable réelle qui parcourt l’ensemble de définition deFque l’on précisera). Étudier cette fonctionFet tracer sa représentation graphique (Γ) relativement ³ ´ −→−→ au repèreO,ı,. Pour étudier le comportement deF(X) pourX→ +∞, F(X) on recherchera les limites, pourX→ +∞, deet deF(X)−2X. X Déterminer les coordonnées du point d’intersection de (Γ) et de la droite d’équa ³ ´ −→−→ tionY=2X−1 dans le repèreO,ı,. 4.Déduire des questions précédentes le tracé de la trajectoire (γ) du pointm.
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