Baccalauréat C Amiens juin 1976
3
pages
Français
Documents
1976
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
3
pages
Français
Documents
1976
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Amiens juin 1976 \ EXERCICE 1 points Soit f l'application de R vers R définie par : ? ? ? f (x) = xp x2+1 si x 6 0 f (x) = x2Log x si x > 0 (Log désigne la fonction logarithme népérien). 1. Étudier la continuité de f . 2. Étudier la dérivabilité de f . 3. Étudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative (C ) dans un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 4. Calculer l'aire A? du domaine plan limité par la courbe (C ) et les droites d'équations respectives y =?1 , x = 0 et x = 1 avec 0
Voir
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Amiens juin 1976 \ EXERCICE 1 points Soit f l'application de R vers R définie par : ? ? ? f (x) = xp x2+1 si x 6 0 f (x) = x2Log x si x > 0 (Log désigne la fonction logarithme népérien). 1. Étudier la continuité de f . 2. Étudier la dérivabilité de f . 3. Étudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative (C ) dans un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 4. Calculer l'aire A? du domaine plan limité par la courbe (C ) et les droites d'équations respectives y =?1 , x = 0 et x = 1 avec 0
- table de pythagore de la loi
- ti- rages équiprobables
- repère
- loi ? de composition des applica- tions
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Amiens juin 1976\
EX E R C IC E1 points Soitfl’application deRversRdéfinie par : x f(x)=six60 2 x+1 2 f(x)=xLogxsix>0 (Log désigne la fonction logarithme népérien). 1.Étudier la continuité def. 2.Étudier la dérivabilité def. 3.Étudier le sens de variation defet tracer sa courbe représentative (C) dans ³ ´ −→−→ un plan rapporté à un repère orthonorméO,ı,. 4.Calculer l’aireAαdu domaine plan limité par la courbe (C) et les droites d’équations respectivesy= −1 ,x=0 etx=1 avec 0<α<1. Quelle est la limite deAαlorsqueαtend vers 0 ?
EX E R C IC E2 points Un paquet de treize cartes à jouer comprend six as, trois rois et quatre dames. Les valeurs des cartes sont les suivantes : – unas quelconque : + 5 – unroi quelconque :+ 2 – unedame quelconque :−1 L’épreuve consiste à tirer simultanément deux cartes de ce jeu. On suppose les ti rages équiprobables. 1.Combien y atil de tirages possibles ? 2.On considère la variable aléatoire X qui à tout tirage fait correspondre la somme des valeurs des cartes tirées. a.Quelle est la loi de probabilité de X ? b.Calculer son espérance mathématique, sa variance et son écarttype.
PR O B L È M Epoints 2 On rappelle queRmuni de l’addition et de la multiplication par un réel est un es pace vectoriel. 2 On note⋆la loi définie surRpar : ¡ ¢¡ ¢ 2′ ′2′ ′′ ′′ ′ ∀(a;b)∈R,∀a;b∈R, (a;b)⋆(a;b)=a a+αbb;ab+a b oùαest un réel donné. On poseγ=(1 ;0),w=(0 ; 1) et 0=(0 ; 0). ⋆ NdésigneN−{0}.
Partie A ¡ ¢ 2 1.Montrer que, pour toutαréel,R,+,⋆est un anneau commutatif unitaire. ¡ ¢ 2 2.Préciser l’ensemble des réelsαtels que pour chacun d’euxR,+,⋆soit un corps.
Baccalauréat C
3.SoitMαl’ensemble des matrices à coefficients réels de la forme µ ¶ aαb oùαest un réel donné. b a
A. P. M. E. P.
On note µ ¶µ ¶ 1 00 0 I=, O= 0 10 0 ¡ ¢ 2 Montrer que (Mα,+,×) est isomorphe àR,+,⋆. 4.Dans cette question, on considère le casα=0 µ ¶ a0 2 a.SoitA=. FormerA. b a 2 2 Montrer que :A−2a A+aI=O. n Pour toutn, exprimerAen fonction dea,betn. 2 Montrer qu’il existe (a;b)6=0) tel que(0 ;A=O. Que confirme ce der nier résultat ? 1 b.Soitu=(a;b). On poseu=uet pour tout entier naturel n n−1 n>2,u=u⋆u. Utiliser a. pour exprimeruen fonction dea,betn. ¡ ¢ 2 c.Résoudre dansR,+,⋆les équations :
2 u+2u=0 2 u+u+γ=0
d.Résoudre dans (M0,+,×) les équations :
2 A+2A=O
2 A+A+I=O 4© ª 2 5.On supposeα=. Déterminer alors les éléments (a;b) deR−les0 pour 9 quels l’équation :
(a;b)⋆(x;y)=0 2 admet, dansR, des solutions (x;y) différentes de 0. Partie B SoitEun espace vectoriel euclidien de dimension 2 muni d’une base orthonormée ³ ´ −→−→ B=ı,. On appelleFαl’ensemble des endomorphismes deEdont la matrice dansBappartient àMα,αétant un réel donné. 1.Dans cette question on considère le cas oùα=1. a.Déterminer l’ensemblePdes éléments deF1qui sont des projections vectorielles deEsur des droites vectorielles. Caractériser avec précision chaque élément deP. Déterminer l’ensembleJdes éléments deF1qui sont des involutions deE. Caractériser avec précision chaque élément deJ. b.Montrer que l’ensembleJmuni de la loi◦de composition des applica tions est un groupe commutatif. (On pourra établir la table de Pythagore de la loi). 2.On considère maintenant le casα= −1
Amiens
2
juin 1976
Baccalauréat C
Amiens
A. P. M. E. P.
2 2 a.Quels sont les éléments deF−1tels quea+b=1 ? p p 2 2 b.Soitϕl’élément deF−1défini para=etb=. On désigne par E un 2 2 ³ ´ −→−→ espace affine associé à l’espace vectorielE, et parO,ı,un repère orthonormé de E. Soitfl’application affine de E dans E associée àϕet telle quef(O) = O et (Γ) l’ensemble des points du plan dont les coordonnées dans le repère ³ ´ −→−→ O,ı,vérifient l’équation :
2 2 5x+5y+6x y−8=0 ³ ´ −→−→ Déterminer une équation def(Γ) dans le repèreO,ı,. En déduire la nature def(Γ) et représenter graphiquement cet ensemble. c.En utilisant la définition bifocale d’une conique à centre, montrer que ³ ´ −→−→ (ΓO,) est une ellipse que l’on tracera dans le repèreı,. ³ ´ −→−→ d.O,On considère dans le plan E rapporté au repèreı,le mouvement du pointmde coordonnées (x;y) définies par l’application suivante de Rvers E : 2 x=(2 cos 2t+sin 2t) 2 2 y=(sin 2t−2 cos 2t) 2 Montrer que le mouvement est périodique. Trouver la relation, indépendante det, liantxety. Que peuton en dé duire pour la trajectoire ? Préciser sur une période les intervalles de temps où le mouvement est accéléré ou retardé.
3
juin 1976
