Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1991
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Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1991 \ EXERCICE 1 4 points Soit O un point fixe du plan orienté. L'exercice propose d'étudier une famille F de cercles de rayons non nuls du plan tels qu'on puisse leur mener, depuis O, deux tangentes orthogonales. Si C est un cercle de la famille F , on note UC et TC les points de contact des tan- gentes àC issues de O. Question préliminaire : pour un cercle C de F , de centre I, indiquer la nature du quadrilatère OUCITC. 1. Étude d'une propriété caractéristique de la famille F Soit C un cercle du plan de rayon r (r 6= 0) et de centre I. On pose OI = d . Démontrer que : C appartient à la famille F si et seulement si d = rp2. 2. Étude de la famille FAdes cercles de la famille Fpassant par un point A du plan Soit A 6=O un point du plan. a. Démontrer qu'un cercle C de centre I appartient à la famille FA si et seulement si C passe par A et OI = AIp2. b. Déterminer le lieu L des centres des cercles de la famille FA. Préciser les points E et F d'intersection de L avec la droite (OA). c. Représenter sur une figure deux cercles de la famille FA ainsi que L .
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Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1991 \ EXERCICE 1 4 points Soit O un point fixe du plan orienté. L'exercice propose d'étudier une famille F de cercles de rayons non nuls du plan tels qu'on puisse leur mener, depuis O, deux tangentes orthogonales. Si C est un cercle de la famille F , on note UC et TC les points de contact des tan- gentes àC issues de O. Question préliminaire : pour un cercle C de F , de centre I, indiquer la nature du quadrilatère OUCITC. 1. Étude d'une propriété caractéristique de la famille F Soit C un cercle du plan de rayon r (r 6= 0) et de centre I. On pose OI = d . Démontrer que : C appartient à la famille F si et seulement si d = rp2. 2. Étude de la famille FAdes cercles de la famille Fpassant par un point A du plan Soit A 6=O un point du plan. a. Démontrer qu'un cercle C de centre I appartient à la famille FA si et seulement si C passe par A et OI = AIp2. b. Déterminer le lieu L des centres des cercles de la famille FA. Préciser les points E et F d'intersection de L avec la droite (OA). c. Représenter sur une figure deux cercles de la famille FA ainsi que L .
- origine du repère
- repère orthonormé direct
- cercles de la famille f∆
- centre de g1
- similitude directe
- points a?1
Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1991\
EX E R C IC E1 4points Soit O un point fixe du plan orienté. L’exercice propose d’étudier une familleFde cercles de rayons non nuls du plan tels qu’on puisse leur mener, depuis O, deux tangentes orthogonales. SiCest un cercle de la familleF, on note UCet TCles points de contact des tan gentes àCissues de O. Question préliminaire :pour un cercleCdeF, de centre I, indiquer la nature du quadrilatère OUCITC. 1. Étuded’une propriété caractéristique de la familleF SoitCun cercle du plan de rayonr(r6=0) et de centre I. On pose OI =d. Démontrer que : p Cappartient à la familleFsi et seulement sid=r2. 2. Étudede la familleFAdes cercles de la familleFpassant par un point A du plan Soit A6=O un point du plan. a.Démontrer qu’un cercleCde centre I appartient à la familleFAsi et seulement si C passe par A et OI = AI2. b.Déterminer le lieuLdes centres des cercles de la familleFA. Préciser les points E et F d’intersection deLavec la droite (OA). c.Représenter sur une figure deux cercles de la familleFAainsi queL. 3. Étudede la familleFΔdes cercles de la familleFcentrés sur une droiteΔ donnée ne passant pas par O SoitΔune droite donnée du plan ne passant pas par O. a.Démontrer que les points de contact UCet TCdes tangentes issues de O aux cerclesCde la familleFΔdécrivent deux droitesΔ1etΔ2. b.Représenter sur une figure deux cercles de la familleFΔainsi que les droitesΔ,Δ1,Δ2.
EX E R C IC Epoints2 5 ³ ´ −→−→ Soit P un pun plan orienté rapporté à un repère orthonormé directR=O,ı,. On rappelle que l’affixe d’un pointMde coordonnées (x;y) est le nombre complexe z=x+iy. 5π On donne des réelsretαavecr>0 etα=et on noteule nombre complexe de 4 moduler, d’argumentα. 1.On construit les pointsAnde P répondant aux conditions : •A0est l’origine du repère ; •A1est le point d’affixe i ; •pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, le pointAnest l’image deAn−2 par la similitude directe de centreAn−1, de rapportr, dont une mesure de l’angle estα. On noteznl’affixe du pointAn.
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
a.Écrire pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 une relation entrezn,zn−1 etzn−2. b.Montrer que pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a
n−1 zn−zn−1=(−u) i. c.Déterminer l’expression de l’affixezndeAnen fonction denetu. 2. a.Montrer qu’il existe une similitude directeS, et une seule, telle que
A1=S(A0) etA2=S(A1) . Préciser les éléments caractéristiques deS. b.Montrer que pour tout entier natureln, on aAn+1=S(An). 0 On noteSl’application identique de P, et pour tout entier natureln, on n+1n poseS=S◦S. Soitp∈N; montrer que ¡ ¢ n+p n pour toutndeN,A=S Ap. 4 c.Montrer queSest une homothétie. d.En déduire que les pointsAnsont éléments d’un ensemble formé par la réunion de quatre droites que l’on précisera. 2 3.On suppose maintenantr=. On appelleΩle centre de la similitudeS. 2 −−−−−→−−−−−−→ a.Démontrer que pour tout entier natureln, les vecteursΩAn+1etAnAn+1 sont orthogonaux. b.Représenter graphiquement les pointsA0,A1,A2,∙ ∙ ∙,A9dans le repère ³ ´ −→−→ orthonorméΩ;ı,(unité : 4 cm). −−−−−→ −−−→−−−−−→ c.Calculer°ΩAn+1°en fonction denet de°ΩA0°lim. En déduire°ΩAn+1°. n→+∞ d.Pour tout entier natureln, calculer
n X −−−−−→ Ln=°AiAi+1°. i=0 Étudier la limite de la suite (Ln) quandntend vers+∞. n∈N
EX E R C IC E2 5points ³ ´ −→á−→π Dans le plan orienté on considère un carré ABCD de centre I tel queAB ,AD=. 2 On noteCle cercle passant par A, B, C et D. Faire une figure. (On choisira AB = 4 cm). On note : −→ tla translation de vecteur DA , π rD,la rotation de centre D d’angle 2 π r1la rotation de centre A d’angle−, 4 3π r2.la rotation de centre A d’angle 4 On désire caractériser les transformations :
Amérique du Sud
f=t◦rDg1=r1◦f g2=r2◦f.
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Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
1.Démontrer quef,g1etg2sont des rotations dont on précisera l’angle. (On ne demande pas les centres). 2. a.Déterminerf(D) etf(A). Quel est le centre def? b.Déterminerg1(D) etg2(D). ′ ′ 3.Soit A=g1(A) et A=g2(A). 1 2 −1′ ′ a.Montrer, en utilisantg2◦g, que A est le milieu du segment [AA ]. 1 12 ³ ´ −→á−→ ′ b.Montrer, en calculantque Aest sur la tangente àAD ,AN ,Cen A. 1 4. a.Soit J le centre deg1et K celui deg2. Montrer que J et K appartiennent àCet qu’ils sont diamétralement op posés. Placer J et K sur la figure. ′ b.est sur la droite (JB).Montrer que A 1 ′ ′ Placer les points Aet Asur la figure. 1 2
PR O B L È M E12 points À tout entier natureln>1 on associe la fonction numériquefndéfinie sur l’inter valle I = [1 ;+∞[ par : n 1 (lnx) fn(x)= 2 n!x ³ ´ −→−→ On noteCnla courbe représentative defnO,dans un repère orthogonalı,du ′ ′ plan. (Choisir comme unités graphiques 1 cm surx xet 10 cm sury y.) La première partie propose l’étude def1Dans les parties II et III on précise certains comportements des fonctionsfnet des primitives de ces fonctions. I. Étude def1
1.Déterminer la limite def1en+∞. Étudier les variations def1. 2.Tracer la tangente àCnau point d’abscisse 1 puis tracer la courbeC1. 3.À l’aide d’une intégration par parties, calculer, pourxélément de I : Z x I1(x)=f1(t) dt. 1
II. Comportement des fonctionsfnpourn>1 · ¸ n n (lnx) (lnx) 1.En remarquant que=, déterminer la limite defnen+∞. 2 2/n x x ′ ′ 2. a.Calculerf(x) et vérifier quef=0. nn/2 ( ) ne ′ Donner le tableau de variations def. n b.Vérifier que la valeur maximale defnsur I est : 1 (n)" ³ ´ n 1n yn=. n! 2e 3. a.Soitx∈I. Étudier, suivant les valeurs dex, le signe def2(x)−f1(x). b.Déterminer la tangente àC2au point d’abscisse 1. Préciser les positions relatives deC1etC2. ¡ ¢ 4.On se propose d’étudier la suiteyn. n>1 Soitnun entier strictement positif.
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Baccalauréat C
fn+1(x) a.Calculer, pourx>1, . fn(x) ³ ´ 1n+11 b.Montrer queyn+1=fnquee etyn+16yn. 2 2 2 1 1 c.En déduire queyn6. n e 2 ¡ ¢ Quelle est la limite de la suiteyn? n>1
III. Étude de primitives defnsur I À tout entiern>1 et à tout nombre réelxde I, on associe l’intégrale Z x In(x)=fn(t) dt. 1 1. a.Soitk>1 un entier. Grâce à une intégration par parties démontrer la relation :
k+1 1 (lnx) Ik+1(x)=Ik(x)−. (k+1)!x b.En déduire que pour tout entiern>1 :
A. P. M. E. P.
2n−1n 1 lnx(lnx) (lnx) (lnx) In(x)=1− ∙ ∙ ∙ −−− − x x2!x(n−1)!x n!x 2.Soitα>1 un nombre réel fixé. a.Montrer que 06In(α)6(α−1)yn(yna été défini dans II. 2. b. b.limEn déduireIn(α). (On utilisera II. 4. c.). n→+∞ 3.Pourn>1 etx>1 on pose :
2n lnx(lnx) (lnx) Wn(x)=1+ ++ ∙ ∙ ∙ + 1! 2!n! a.ExprimerWn(x) en fonction deIn(x). b.α>lim1 étant un nombre réel fixé, déterminerWn(α). n→+∞ c.En déduire l a limiteγde la suite (Un)n∈Nde terme général :
1 11 Un=1∙ ∙ ∙ ++ + +. 1! 2!n! En s’aidant de la calculatrice donner une valeur décimale approchée de −4 U6près. Comparer cette valeur àà 10γ.
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