Baccalauréat C Aix–Marseille juin
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Français
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1977
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. Établir que : quel que soit (a,b,q) ?Z3, a ?b = b ?a ?bq . La notation a ?b désigne le PGCD des entiers relatifs a et b. 2. Montrer que : quel que soit n ?Z, 5n3?n?n+2 = n+ (2?38). 3. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs n tels que n+2 divise 5n3?n. 4. Quelles sont les valeurs de possibles de 5n3?n?n+2 ? En déduire l'ensemble des valeurs de n ?Z telles que 5n3?n?n+2= 19. PROBLÈME 12 POINTS 1. Soit la fonction Qn?2 de la variable réelle t , dépendant de n, entier naturel supérieur à 2, donnée par Qn?2(t)= 1? t + t2+·· ·+ (?1)n?2t n?2. Montrer que, quel que soit t 6= ?1, Qn?2(t)= 1? (?1)n?1t n?1 1+ t . En déduire que 1 1+ t = 1? t + t 2+·· ·+ (?1)n?2t n?2+ (?1)n?1 t n?1 1+ t . En intégrant les deuxmembres de cette dernière relation sur le segment [0 ; x](06 x 6 1), établir la relation ln(1+ x)= Pn?1(x)+ (?1)n?1+ ∫x 0 t n?1 1+ t dt , (I )
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[ Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS 1. Établir que : quel que soit (a,b,q) ?Z3, a ?b = b ?a ?bq . La notation a ?b désigne le PGCD des entiers relatifs a et b. 2. Montrer que : quel que soit n ?Z, 5n3?n?n+2 = n+ (2?38). 3. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs n tels que n+2 divise 5n3?n. 4. Quelles sont les valeurs de possibles de 5n3?n?n+2 ? En déduire l'ensemble des valeurs de n ?Z telles que 5n3?n?n+2= 19. PROBLÈME 12 POINTS 1. Soit la fonction Qn?2 de la variable réelle t , dépendant de n, entier naturel supérieur à 2, donnée par Qn?2(t)= 1? t + t2+·· ·+ (?1)n?2t n?2. Montrer que, quel que soit t 6= ?1, Qn?2(t)= 1? (?1)n?1t n?1 1+ t . En déduire que 1 1+ t = 1? t + t 2+·· ·+ (?1)n?2t n?2+ (?1)n?1 t n?1 1+ t . En intégrant les deuxmembres de cette dernière relation sur le segment [0 ; x](06 x 6 1), établir la relation ln(1+ x)= Pn?1(x)+ (?1)n?1+ ∫x 0 t n?1 1+ t dt , (I )
- encadrement de ∫1
- ·· ·
- intégration sur le segment
- pgcd des entiers relatifs
- entier naturel
- défi- nitive
- ∫1
[Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1977\
EX E R C IC E1 3 1.Établir que : quel que soit (a,b,q)∈Z,a∧b=b∧a−b q. La notationa∧bdésigne le PGCD des entiers relatifsaetb. 2.Montrer que : quel que soitn∈Z,
4P O IN TS
3 5n−n∧n+2=n+(2∧38). 3 3.Déterminer l’ensemble des entiers relatifsntels quen+2 divise 5n−n. 3 4.Quelles sont les valeurs de possibles de 5n−n∧n+2 ? En déduire l’ensemble des valeurs den∈Ztelles que
3 5n−n∧n+2=19.
PR O B L È M E12P O IN TS 1.Soit la fonctionQn−2de la variable réellet, dépendant den, entier naturel supérieur à 2, donnée par
2n−2n−2 Qn−2(t)=1−t+t+ ∙ ∙ ∙ +(−1)t.
Montrer que, quel que soitt6= −1,
En déduire que
n−1n−1 1−(−1)t Qn−2(t)=. 1+t
n−1 1t 2n−2n−2n−1 =1−t+t+ ∙ ∙ ∙ +(−1)t+(−1) . 1+t1+t En intégrant les deux membres de cette dernière relation sur le segment [0 ;x](06 x61), établir la relation Z x n−1 t n−1 ln(1+x)=Pn−1(x)+(−1)+dt, (I) 01+t 2n−1 x x n−2 en posant :Pn−1(x)=x− +∙ ∙ ∙ +(−1) . 2n−1 2. a.Soit la fonction numériqueϕdéfinie sur ]0 ; 1] par
ln(1+x) ϕ(x)=. x Montrer que l’on peut prolonger cette fonctionϕpar continuité pour x=0. Soitfle prolongement ainsi obtenu sur [0 ; 1], donné par : ln(1+x) f(x)=six∈]0 ; 1]et x f(0)=1.
Le baccalauréat de 1977
A. P. M. E. P.
b.De l’étude des variations de la fonctionθ, définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par :
déduire que :
θ(x)=x−ln(1+x),
quel que soitx∈]0 ;+∞[,x−ln(1+x)>0.
En utilisant cette dernière relation, montrer que :
quel que soitx∈[0 ; 1],f(x)61. c.Cette fonctionf; 1], on rappelle que l’intégraleétant continue sur [0 Z 1 f(x) dxexiste. SoitLsa valeur. 0 nétant un entier naturel non nul, montrer que : Z 1 1 n 06f(x) dx6. 0n Z 1 n En déduire quelimf(x) dx=0. n→+∞ 0 Z 1 Montrer que :limf(x) dx=L. 1 n→+∞ n 3. a.Montrer que, Z Z x n−1x t n−1 quel que soitx∈[0 ; 1],dt6tdt. 01+t0 Z x n−1 t1 En déduire que, quel que soitx∈[0 ; 1],6. 01+t n En utilisant la relation I de la première question montrer que : 1Pn−1(x) 1 quel que soitx∈]0 ; 1],−6f(x)−6. n xx nx £ ¤ 1 Par intégration sur le segment; 1 , établir la relation : n
Z µ¶ Zµ ¶ 1 1 1 11 11 1 f(x) dx+ln+Sn6Sn(1)6f(x) dx−ln+Sn n nn nn n 1 1 n n en posant 2 3n−1 x xx n−2 Sn(x)=x∙ ∙ ∙ +− + +(−(1) ,n≥2). 2 22 2 3(n−1) ⋆ b.Démontrer que, quels que soientp∈Netx∈[0 ; 1] : p p+1 x x >. 2 2 p(p+1)
En utilisant des égalités de la forme :
µ ¶µ ¶ 2 23 x xx S2(x)=x;S3(x)=x−;S4(x)=x− +. .; . 2 22 2 23 montrer que, quels que soientn>2 etx∈[0 ; 1] : 06Sn(x).
Aix–Marseille
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juin 1977
Le baccalauréat de 1977
En utilisant des égalités de la forme :
A. P. M. E. P.
µ ¶µ ¶ 2 23 23 4 x xx xx x x−S3(x)=;x−S4(x)= −;x−S5(x)+= −; .. . 2 22 22 2 2 23 23 4 montrer que, quels que soientn>2 etx∈[0 ; 1] :Sn(x)6x; et en défi nitive que 06Sn(x)6x. µ ¶ 1 Déterminer limSn. n→+∞ n c.Déduire des résultats 3. a. et 3. b. précédents que : Z 1 limSn(1)=f(x) dx=L. n→+∞ 0 4.En regroupant convenablement les termes de la somme : 1 11 n−2 Sn(1)=1∙ ∙ ∙ +− + +(−1) , 2 32 2 3(n−1) et en raisonnant comme au 3. b. montrer que, quel que soitn>5, 1 1 11 1 1− + −6Sn(1)61− +. 2 2 22 2 2 3 42 3 On admettra alors le théorème suivant : Théorème :Soit une suite convergente (un). S’il existe deux réelsaetb, (a6b) et un entier natureln0tel que, quel que soitn>n0,a6un6b, alorsa6limun6b. n→+∞ Z 1 En déduire un encadrement def(x) dx. 0
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