Baccalaureat 2006 mathematiques scientifique recueil d'annales

pages

Français

Documents

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Français

Ebook

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

aldebaran

Nombre de lectures

780

Langue

Français

Voir

Publié par

aldebaran

Nombre de lectures

780

Langue

Français

annales

BaccalauréatS2006 L’intégraledeseptembre2005àjuin 2006 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2005 .....................3 Franceseptembre2005 ...............................6 Polynésiespécialitéseptembre2005.................10 Nouvelle-Calédonienovembre2005 ................14 AmériqueduSudnovembre2005 ...................18 Pondichéryavril2006 ................................23 AmériqueduNordjuin2006 .........................27 Antilles-Guyanejuin2006 ...........................32 Asiejuin2006 ........................................36 Centresétrangersjuin2006 ..........................41 Francejuin2006 .....................................46 LaRéunionjuin2006 ................................49 Polynésiejuin2006 ..................................55L’intégrale2006 2BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre2005 EXERCICE15points 1 Lasuite(u )estdéﬁnieparu =1et∀n∈N, u = u +−1.n 0 n+1 n 2 1. a. Démontrerquepourtoutn3, u 0.n b. Endéduirequepourtoutn4, u n−2.n c. Endéduirelalimitedelasuite(u ).n 2. Ondéﬁnitiasuite(v )par v =4u −8n+24.n n n a. Démontrerque v estunesuitegéométriquedécroissantedontondon-( )n neralaraisonetlepremierterme. n1 b. Démontrerque∀n∈N, u =7 +2n−6.n 2 c. Vériﬁer que ∀n ∈N, u = x +y où (x ) est une suite géométrique etn n n n y une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premiern termeetlaraison. n d. Endéduirel’expressiondeS = u enfonctionden.n k k=0 EXERCICE24points Soit f lafonctiondéﬁniesur]0 ; +∞[par 2lnx f(x)= . 2x +x lnx lnx 1. Montrerquepourtoutx>1, f(x) . 2x x 4 4lnx lnx 2. a. Calculer I = dx et J = dx (on pourra utiliser une intégra- 2x x2 2 tionparpartiespourcettedernière). 4 b. EndéduireunencadrementdeK= f(x)dx. 2 3. Laﬁgureci-dessousreprésentelacourbereprésentativede f (unitésgraphiques: enabscisse1cmpour1unité,enordonnées4cmpour1unité).Onconsidère l’ensemble despoints M(x ; y)telsque: 2 x 4 etonnoteA sonaire. 0 y f(x) y 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 x -0,1-2 -1 1234 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5BaccalauréatS 2Àl’aidedel’encadrementtrouvéau2b,donnerunencadrementdeA encm . EXERCICE34points →− →− SoitP leplancomplexerapportéaurepère O, u , v (unitégraphique:4cm).Soit Alepointd’afﬁxe1.Onnote f l’applicationdeP privédeAdansP qui,àoutoint M d’afﬁxe z,associelepoint M d’afﬁxe z telleque 1 z = . z−1 1. a. Soit B le point d’afﬁxe b =4+i 3.Déterminerlaformealgébriqueetla formeexponentielle del’afﬁxeb deB . b. Déterminerlesafﬁxesdespointsayantpourimagepar f leursymétrique parrapportàO. 2. a. Exprimer z etarg z enfonctionde|z−1|etarg(z−1). b. SoitC lecercledecentreAetderayonr.OnsupposequeMestunpoint deC.Déterminer z . Endéduireque M appartientàuncercleC dontonpréciseralecentre etlerayon. 1 c. Placerunpoint M quelconque sur le cercledecentreAet derayon et 2 construìresonimageM .(Onlaisseralestraitsdeconstruction,) EXERCICE44points Onmodéliseletempsd’attenteentredeuxclientsàunguichetcmmeunevariable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Larobabiléur u clientd’attendremoinsdet minestdéﬁniepar: t −λxp(Xt)= λe dx. 0 Letempsmoyend’attenteestdonnépar: t −λxlim λxe dx. t→+∞ 0 t −λx1. a. Àl’aided’uneintégration parparties, calculer λxe dx enfonction 0 det. 1 b. Endéduirequeletempsmoyenest . λ 2. Le temps moyend’attente étant de5 min, quelle est la probabilité d’attendre plusde10min?plusde5min? 3. Quelle est la probabilité d’attendre encore au moins 5 min, sachant qu’on a déjàattendu10min?Commentexpliquez-vous cerésultat? EXERCICE54points Pourcetexercice,vousrecopierezpourchaquequestion,votreréponse. Chaqueréponsejusterapporte1point.Uneabsencederéponse’estpasanctionnée. Ilseraretiré 0,5pointparréponsefausse. Lanoteﬁnaledel’exercicenepourrapasêtreinférieureàzér. →− →− →− Soit O, ı ,  , k unrepèreorthonormal. Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatS 1. La droite passant par A(1 ; 2 ; −4) et B(−3 ; 4 ; 1) et la droite représentée par  x =− 11−4t  y = 8+2t t ∈R sont:  z = 11+5t sécantes strictementparallèles confondues noncoplanaires 2. Soient le planP d’équation 2x+3y −z+4=0etladroiteD représentée par  x = t  y = t t ∈R  z = 8+t P etD sontsécants. P etD sontstrictementparallèles. D estinclusedansP. Aucunedecespossibilités n’estvraie. 3. LadistancedupointA(1; 2; −4)aupland’équation2x+3y−z+4=0est: 8 14 8 16 8 14 7 7 2 2 24. SoientlepointB(−3;4;1)etlasphèreS d’équation x +y +z =16; Bestàl’intérieurdeS Bestàl’extérieurdeS BestsurS Onnesaitpas. Antilles-Guyane 5 septembre2005Durée:4heures BaccalauréatSFranceseptembre2005 EXERCICE17points Communàtouslescandidats PartieA Lafonction f estdéﬁniesurl’intervalle [0; +∞[par 1 − x2f(x)=(20x+10)e . On noteC la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonorma →− →− O, ı ,  (unitégraphique1cm). 1. Étudierlalimitedelafonction f en+∞. 2. Étudierlesvariationsdelafonction f etdressersontableaudevariations. 3. Établir que l’équation f(x) = 10 admet une unique solution strictement po- sitive α dans l’intervalle ]0 ; +∞[. Donner une valeur décimale approchée à −310 prèsdeα. 4. Tracer la courbeC. 3 5. Calculerl’intégraleI= f(x)dx. 0 PartieB Onnote y(t)lavaleur,endegrésCelsius,delatempératured’uneréactionchimique àl’instant t, t étantexpriméenheures.Lavaleurinitiale,àl’instant t =0,est y(0)= 10. Onadmetquelafonctionqui,àtoutréelt appartenantàl’intervalle[0; +∞[associe 1 1 − t 2y(t),estsolutiondel’équationdifférentielle (E): y + y =20e . 2 1. Vériﬁer que la fonction f étudiée dans la partieA est solution de l’équation différentielle (E)surl’intervalle [0; +∞[. 2. On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de l’équation différentielle (E), déﬁnie sur l’intervalle [0 ; +∞[, qui prend la va- leur10àl’instant 0. a. On note g une solution quelconque de l’équation différentielle (E), dé- ﬁnie sur [0 ; +∞[vériﬁantg(0) = 10. Démontrer que la fonction g − f est solution, sur l’intervalle [0 ; +∞[, de l’équation différentielle : (E ) 1 y + y =0. 2 b. Résoudrel’équation différentielIe(E ). c. Conclure. 3. Auboutdecombiendetempslatempératuredecetteréactionchimiqueredes- cent-elleàsavaleurinitiale?Lerésultatseraarrondiàlaminute. 4. LavaleurθendegrésCelsiusdelatempératuremoyenneàcetteréactionchi- mique durant les trois premières heures est la valeur moyenne dela fonction f surl’intervalle [0;3]. Calculerlavaleurexactedeθ,puisdonnerlavaleurapprochéedécimaledeθ arrondieaudegré.BaccalauréatS EXERCICE25points Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialié Pourchaquequestion,uneseuledesquatreréponsespropoéesestexacte.Lecanddat indiquerasurlacopielenumérodelaquestionetlalettrecorreondantàlaréonse choisie. Chaqueréponseexacterapporte1point,chaqueréponsefausseelève0,5point.Ue absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note e rameée à zéro. Aucunejustiﬁcationn’estdemandée. π 1. Soit z lenombrecomplexedemodule 2etd’argument .Oaalrs: 3 14 14A:z =−128 3−128i. C : z =−64+64i 3. 14 14B:z =64−64i. D : z =−128+128i 3 2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le pointSd’afﬁxe3etlepointTd’afﬁxe4i.Soit(E)l’ensembledespointsM d’af- ﬁxez telsque|z−3|=|3−4i|. A:(E)estlamédiatricedusegment[ST]; B:(E)estladroite(ST); C:(E)estlecercledecentreΩd’afﬁxe3−4i,etderayon3; D:(E)estlecercledecentreSetderayon5. 3. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur −→ −→ 1.LeproduitscalaireAC ·CF estégalà: 3 A:3B:−3C:−3D; . 2 2x −2x 4. Une fonction g est déﬁnie sur l’intervalle ]−∞;0]parg(x)= ;soit x−3 Γsacourbereprésentativedansunrepèreduplan. A:Γadmetuneasymptoted’équation y=−1. B:Γn’admetpasd’asymptote. C:Γadmetuneasymptoted’équation y =x. D:Γadmetuneasymptoted y =1. x 2 −t5. Soit la fonction f déﬁnie surR par f(x)= e dt.Lafonctionf , dérivée 0 secondedelafonction f surR,estdéﬁniepar: x 2 2 −t −xA:f (x)= −2te dt.C:f (x)=−2xe . 0 x 2 2 −x −xB:f (x)= −2xe dx.D: f (x)=e . 0 EXERCICE25points Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité Pourchaquequestion,uneseuledesquatreréponsespropoéesestexacte.Lecanddat indiquerasurlacopielenumérodelaquestionetlalettrecorreondantàlaréonse choisie. Chaqueréponseexacterapporte1point.Chaqueréponsefausseelève0,5point.Ue absence de réponse est comptée 0 Si le total est négatif, la note e rameée à zéro.Aucunejustiﬁcationn’estdemandée. France 7 septembre2005 BaccalauréatS 21. Onconsidèredansl’ensembledesentiersrelatifsl’équation:x −x+4≡0(modulo6). A:touteslessolutionssontdesentierspairs. B:iln’yaaucunesolution. C:lessolutions vériﬁentx ≡2(modulo6). D:lessvériﬁentx≡2(modulo6)ou x ≡5(modulo6). 2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x+34y = 2, où x et y sont des entiersrelatifs. A:Lessolutionsde(E)sonttoutesdelaforme:(x ;y)=(34k−7;5−24k), k ∈Z. B:L’équation (E)n’aaucunesolution. C:Lessolutionsde(E)sonttoutesdelaforme:(x ; y)=(17k−7;5−12k), k ∈ Z. D:Lessolutionsde(E)sonttoutesdelaforme:(x ; y)=(−7k;5k), k ∈Z. 2 0053. Onconsidèrelesdeuxnombresn=1 789etp =1 789 .Onaalors: A:n≡4 (modulo17)etp ≡0 (modulo17). B:p estunnombrepremier. C:p ≡4 (modulo17). D:p ≡1 (modulo17). 4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les pointsAetBd’afﬁxesrespectives a etb.LetriangleMABestrectangleisocèle directd’hypoténuse[AB]sietseulement silepoint M d’afﬁxe z esttelque: b−ia A:z =.C:a−z =i(b−z). 1−i π πi 4B:z−a=e (b−a). Db−z = (a−z). 2 5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B; on note I le milieu du segment [AB]. Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 2π 1 etd’angle ;soitglasimilitudedirectedecentreA,derapport etd’angle 3 2 π ;soith lasymétriecentraledecentre1. 3 A:h◦g ◦f transformeAenBetc’estunerotation. B:h◦g ◦f estlaréﬂexionayantpouraxelamédiatricedusegment[AB]. C:h◦g ◦f n’estpasunesimilitude. −→ D:h◦g ◦f estlatranslationdevecteurAB. EXERCICE35points Communàtouslescandidats →− →− →− L’espaceestmunid’unrepèreorthononnal O, ı ,  , k . 1. OnconsidèreleplanP passantparlepointB(1; −2; 1)etdevecteurormal →− n (−2

Voir