Baccalaureat 2005 mathematiques sciences economiques et sociales recueil d'annales
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[BaccalauréatES2005\L’intégraledeseptembre2004àjuin2005PourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleusAntilles-Guyaneseptembre2004 ..................... 3Franceseptembre2004 ............................... 6AmériqueduSudnovembre2004 ................... 11Nouvelle-Calédonienovembre2004 .................15Pondichéry31mars2005 ............................20AmériqueduNordjuin2005 .........................24Antilles-Guyanejuin2005 ........................... 29Asiejuin2005 ........................................34Centresétrangersjuin2005 ..........................45Francejuin2005 .....................................50LaRéunionjuin2005 .................................57Libanjuin2005 .......................................61Polynésiejuin2005 .................................. 682[BaccalauréatESAntilles–Guyaneseptembre2004\EXERCICE 1 5pointsSoitu unefonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle[0;4].La courbeC ci-dessous est la représentation graphique de cette fonction dans le³ ´→− →−repèreorthonormal O, ı , .Ellepasseparlespointsdecoordonnéesrespectives(0; −3), (1; 0), (2; 1), (3; 0)et(4;−3).Elleadmet,aupointd’abscisse2,unetangenteparallèleàl’axedesabscisses.1. Sansjustificationa. Dresserletableaudevariationsdelafonctionu,enprécisantlesignedesadérivée.b. Dresserletableaudonnantlesignedelafonctionu sur[0;4].21→−0→−-1 O 0 1 2 3 4 5ı-1-2C-3-42. Onconsidèrelafonction f =ln◦u (fonctioncomposéedeu suiviedeln).Onadmetque f ...
Voir
[BaccalauréatES2005\
L’intégraledeseptembre2004
àjuin2005
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2004 ..................... 3
Franceseptembre2004 ............................... 6
AmériqueduSudnovembre2004 ................... 11
Nouvelle-Calédonienovembre2004 .................15
Pondichéry31mars2005 ............................20
AmériqueduNordjuin2005 .........................24
Antilles-Guyanejuin2005 ........................... 29
Asiejuin2005 ........................................34
Centresétrangersjuin2005 ..........................45
Francejuin2005 .....................................50
LaRéunionjuin2005 .................................57
Libanjuin2005 .......................................61
Polynésiejuin2005 .................................. 68 2 [BaccalauréatESAntilles–Guyaneseptembre2004\
EXERCICE 1 5points
Soitu unefonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle[0;4].
La courbeC ci-dessous est la représentation graphique de cette fonction dans le³ ´→− →−
repèreorthonormal O, ı , .Ellepasseparlespointsdecoordonnéesrespectives
(0; −3), (1; 0), (2; 1), (3; 0)et(4;−3).
Elleadmet,aupointd’abscisse2,unetangenteparallèleàl’axedesabscisses.
1. Sansjustification
a. Dresserletableaudevariationsdelafonctionu,enprécisantlesignede
sadérivée.
b. Dresserletableaudonnantlesignedelafonctionu sur[0;4].
2
1
→−
0
→−-1 O 0 1 2 3 4 5
ı
-1
-2
C-3
-4
2. Onconsidèrelafonction f =ln◦u (fonctioncomposéedeu suiviedeln).
Onadmetque f estdérivableentoutpointoùelleestdéfinie.
Enjustifiantsoigneusement votrechoix,diresichacunedesaffirmationssui-
vantesestvraieoufausse
a. f estdéfiniesur]0;4[.
b. f estpositiveounullesursonensemblededéfinition.
′c. f (2)=0.
d. Ladroited’équation x=1est uneasymptote àlacourbereprésentative
de f.
EXERCICE 2OBLIGATOIRE 5points
Pour fabriquer un appareil on utilise successivement et dans cet ordre deux ma-
chines M et M . La machine M peut provoquer deux défauts d et d . Un relevé1 2 1 1 2
statistiquepermetd’estimerque:
• 4%desappareilsprésententledéfautd etluiseul;1
• 2%desappareilsprésententledéfautd ,etluiseul;2
• 1%desappareilsprésententàlafoislesdéfautsd etd .1 2
1. OnprélèveauhasardunappareilàlasortiedeM .Onnote:1
Al’évènement «l’appareilprésenteledéfautd »;1
Bl’évènement «l’appareilprésenteledéfautd »;2 BaccalauréatES BaccalauréatESseptembre2004
a. Calculer les probabilités des évènements A et B notées respectivement
p(A)etp(B).
LesévènementsAetBsont-ilsindépendants?
b. SoitDl’évènement «l’appareilprésenteaumoinsundéfaut».
Montrerquelaprobabilitédel’évènementDestégaleà0,07.
c. Quelleestlaprobabilitépourquel’appareilneprésenteaucundéfaut.
ÀlasortiedelamachineM lesappareilsencoursdefabricationpassent1
parlamachineM quipeutprovoquerundéfautd danslesconditions2 3
suivantes:
• 60%desappareilsayantaumoinsundéfautensortantdeM présententle1
défautd ;3
•3%desappareilssansdéfautàlasortiedeM présententledéfautd .1 3
2. On prélève au hasard un appareil après les passages successifs dans les ma-
chinesM etM .1 2
OnnoteCl’évènement «l’appareilprésenteledéfautd ».3
a. Traduirelesinformationsprécédentesàl’aided’unarbrepondéré.
b. Quelleestlaprobabilitéqu’onappareilfabriquésoitsansdéfaut?
EXERCICE 2SPÉCIALITÉ 5points
Lucien,fumeurimpénitent,décided’essayerdeneplusfumer.
S’ilnefumepasunjourdonné,laprobabilitéqu’ilnefumepaslelendemainest0,3.
Parcontre,s’ilfumeunjourdonné,laprobabilitéqu’ilnefumepaslelendemainest
0,9.
OnnoteFl’évènement «Lucienfume»etFl’évènement contraire.
1. Traduirecesinformations àl’aided’ungrapheprobabilistedontlessommets
serontnotésFetF. µ ¶
0,1 0,9
OnadmetquelamatriceMassociéeaugrapheest
0,7 0,3
2. Pour tout entier n supérieur ou égal à1, l’état probabiliste le n-ième jour est
définiparlamatriceligneP = a b oùa désignelaprobabilitéqueLu-( )n n n n
cienfumelen-ièmejouretb laprobabilitéqueLuciennefumepaslen-ièmen
jour.
a. OnsupposequelepremierjourlaprobabilitéqueLucienfumeest0,2.
DéterminerP .1
2b. CalculerM etendéduireP .3
c. DéterminerP enfonctiondeP etendéduirelaprobabilitéqueLu-n+1 n
cienfumele(n+1)-ièmejourenfonctiondea etb .n n
d. On considère la matrice ligne P = (a b) où a et b sont deux réels tels
quea+b=1.
Déterminera etb pourqueP=PM.
Endéduirelalimitedea quandn tendvers+∞.n
EXERCICE 3 10points
Uneentreprisealancésurlemarchéunproduitinformatiqueen1990.
Uneétudestatistique apermisd’établir lestauxdesménageséquipésentre1993et
2002.
Lesrésultatsdecetteétudesontconsignésdansletableauci-dessous:
Antilles–Guyane 4 BaccalauréatES BaccalauréatESseptembre2004
Année 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Rangde 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
I’annéeti
Tauxdeména- 0,20 0,22 0,32 0,34 0,35 0,43 0,48 0,49 0,53 0,60
geséquipés yi
Cette entreprise doit prévoir une reconversion dès que 90% des ménages seront
équipés,c’est-à-diredèsqueletauxdesménageséquipésseraégalà0,9.
Pourfairecetteétudeprévisionnelle,elleenvisagedeuxtypesd’ajustement.³ ´→− →−
Danstoutleproblème,leplanestmunid’unrepèreorthogonal O, ı , .
(Unitésgraphiques:1cmsurl’axedesabscisses,20cmsurl’axedesordonnées).
Lesparties Bet Cpeuventêtretraitéesindépendammentdelapartie A.
PartieA-Ajustementaffine ¡ ¢
1. Représenterencouleurlenuagedepointsassociéàlasériestatistique t , yi i³ ´→− →−
danslerepère O, ı , .
2. Donner une équation dela droite D d’ajustement affine de y en t par la mé-
thodedesmoindrescarrés.Onnedemandepasledétaildescalculsetlesva-
−3leursserontarrondiesà10 .³ ´→− →−
3. ReprésenterDdanslerepère O, ı , .
4. Pourquoicetajustementnepermet-ilpasd’effectuerdesprévisionsaprèsl’an-
née2011?
PartieB-Ajustementlogistique
Onsupposequelasituationestmodéliséeparlafonction f,définieetdérivablesur
[0;+∞[,telleque
1
f(t)= .
0,2t1+4e
Lenombre f(t)donneenfonctiondurangt del’annéeletauxdesmenageséquipés.³ ´→− →−
OnnoteC lacourbereprésentativede f danslerepère O, ı , .
1. Calculerlalimitede f en+∞etendéduirequeC admetuneasymptotenotée
Δdontondonnerauneéquation.
−0,2t0,8e′2. Vérifierque,pourtoutréelt de]0;+∞[, f (t)= .¡ ¢2−0,2t1+4e
Endéduirelesensdevariationde f puisdressersontableaudevariations.³ ´→− →−
3. TracerC etΔdansterepère O, ı , .
′4. Résoudrealgébriquementl’inéquation f (t)>0,9.
PartieC-Application
Danscettepartie,lespourcentagesserontarrondisàl’unité.
Onsuppose que f(t) est une approximation satisfaisante, au moins jusqu’en 2013,
dutauxdesménageséquipésdeceproduitinformatique.
Àl’aidedecetteapproximationetdesrésultatsdelapartieB,déterminer:
1. Lepourcentagedesménageséquipésdeceproduitinformatiqueen2008.
2. L’annéeàpartirdelaquelle90%desménagesserontéquipés.
Antilles–Guyane 5 [BaccalauréatsérieESFranceseptembre2004\
EXERCICE 1 7points
Communàtouslescandidats
−5xSoit f lafonctiondéfiniepourtoutx élémentdeRpar f(x)=30e .
5xSoitg lafonctiondéfiniepourtoutx élémentdeRparg(x)=e +1.
Onadmetque f etg sontdérivablessurR.
1. Démontrerquelafonction f eststrictementdécroissantesurR.
2. Démontrerquelafonctiong eststrictementcroissantesurR.
3. Tracer sur lacopie dans unmême repèreorthogonalles représentations gra-
phiques desfonctions f et g surl’intervalle [0;0,5](onprendra20cmpour1
unitésurl’axedesabscisseset0,5cmpour1unitésurl’axedesordonnées).
4. LebutdecettequestionestderésoudredansRl’équation:
(E): f(x)=g(x).¡ ¢ ¡ ¢
5x 5xa. Montrerque(E)s’écritaussi: e 2+ e −30=0.
2b. RésoudredansRl’équation:X +X−30=0.
ln5
c. Endéduireque estl’uniquesolutiondel’équation(E).
5
5. Dans cette question, on considère la partie du plan située au dessus de l’axe
desabscisses.
Hachurer sur le graphique de la question 3 le domaine situé à la fois sous la
courbede f etsouslacourbedeg,etlimitéparlesdroitesd’équationx=0et
x=0,5.
2Calculer,encm ,l’aireA decedomaine.
−1Donnerlavaleurexactedel’aireA puisunevaleurapprochéeà10 près.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Onconsidèreunegrandepopulationd’acheteursdeyaourts.
Onsupposequel’effectifdecettepopulationeststable.
UneentreprisecommercialisedesyaourtssouslamarqueY.
30%desacheteursdeyaourtsachètentlamarqueY.
L’entreprisedécidedefaireunecampagnepublicitairepouraméliorersesventes.
Auboutd’unesemaine,uneenquêteindiqueque:
•20%desacheteursdeyaourtsquiachetaientlasemaineprécédentedesyaourts
desautresmarquesachètentmaintenantdesyaourtsY.
•10%desacheteursdeyaourtsquiachetaientlasemaineprécédentedesyaourts
Yachètentmaintenantdesyaourtsdesautresmarques.
L’entreprise continue sacampagne publicitaire.Onfaitl’hypothèse quel’évolution
desrésultatsobtenusàl’issue delapremièresemainedecampagnepublicitaireest
lamêmelessemainessuivantes.
1. Dessinerlegrapheprobabilistecorrespondantàcettesituation.
2. Soit X =(0,3 0,7)lamatricelignedécrivantl’étatinitialdelapopulation.0
a. Donnerlamatricedetransition(notéeA)associéeaugrapheprécédent.
b. Déterminer la probabilité qu’un acheteur de yaourts choisi au hasard
après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de
lamarqueY. BaccalauréatES BaccalauréatESseptembre2004
à ! à !
2 1 1 1
n n + 0,7 − 0,7 3 3 3 3n à ! à !3. Onadmetquepourtoutentiernatureln ona:A = 2 2 1 2 n n− 0,7 + 0,7
3 3 3 3
Avec l’hypothèse ci-dessus, l’entreprise peut-elle espérer atteindre une part
demarchéde70%?Justifier.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
′Onconsidèreunefonction f définieetdérivablesur[0,5;4].Onnote f lafonction
dérivéedelafonction f.
Onnote(C)lacourbereprésentativedelafonction f dansleplanmunid’unrepère
orthogonal(O,I,J).
Lacourbe(C)estreprésentéeci-dessous.
Lacourbe(C)passeparlepointAetadmetladroite(AD)pourtangenteenA.
La courbe (C) passe par le point B, d’abscisse e, et en B elle admet une tangente
horizontale.
Onrappellequeeestlenombreréeltelquelne=1.
B
D
A
2
J
O eI 2 3
1. Enutilisantlesdonnéesgraphiques,donnersansjustification:
a. le nombre de solutions sur l’intervalle [0,5; 4] del’équation f(x)=6, et
unevaleurapprochéeà0,25prèsdessolutionséventuelles.
′b. Lesignedeladérivée f delafonction f surl’intervalle[0,5;4].
′ ′c. Lesvaleursde f (1)et f (e).Z2
2. Justifierque:36 f(x)dx67.
1
3. Soith, g et j lesfonctions définiespourtoutréel x del’intervalle [0,5; 4]res-
pectivementpar:
e 2
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