Baccalaureat 2004 mathematiques specialite scientifique antilles

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Durée:4heuresBaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2004L’utilisation d’unecalculatriceestautorisée.Dupapier millimétré estmis àladisposition descandidats.Lecandidatdoittraitertouslesexercices.La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appréciation descopies.EXERCICE1 4pointsCommunàtouslescandidats1 a = (2a +b )n+1 n n3Ondéﬁnitlessuites(a )et(b )par a =1, b =7etn n 0 0 1 b = (a +2b )n+1 n n3 →−SoitDunedroitemunied’unrepère O; ı .Pourtoutn∈N,onconsidèrelespointsA et B d’abscissesrespectives a et b .n n n n1. PlacezlespointsA ,B,A,B,A etB .0 0 1 1 2 22. Soit(u )lasuitedéﬁnieparu =b −a pourtoutn∈N.Démontrezque(u )n n n n nestunesuite géométriquedontonpréciseralaraisonetlepremierterme.Exprimez u enfonctionden.n3. Comparez a et b . Étudiez le sens de variation des suites a et b . Inter-( ) ( )n n n nprétezgéométriquement cesrésultats.4. Démontrezquelessuites(a )et(b )sontadjacentes.n n5. Soit (v )lasuitedéﬁnieparv = a +b pour tout n ∈N. Démontrez que (v )n n n nestunesuiteconstante.Endéduirequelessegments[A B ]onttouslemêmen nmilieu I.6. Justiﬁez que les suites a et b sont convergentes et calculez leur limite.( ) ( )n nInterprétezgéométriquement cerésultat.EXERCICE2 7pointsCommunàtouslescandidatsButdel’exercice:approcherln(1+a)parunpolynômededegré5lorsque a appar-tientàl’intervalle [0; +∞[.Soit a∈[0; +∞[. ka a1 (t−a)∗Onnote I (a)= dt etpour k ∈N ,onposeI (a)= dt.0 k ...

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Durée : 4 heures

Baccalauréat S AntillesGuyane juin 2004

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE14 points Commun à tous les candidats  1   an+1=(2an+bn) 3 On déﬁnit les suites (an) et (bn) para0=1,b0=7 et 1   bn+1=(an+2bn) 3   −→ Soit D une droite munie d’un repèreO ;ı. Pour toutn∈N, on considère les points AnetBnd’abscisses respectivesanetbn.

1.Placez les points A0, B0, A1, B1, A2et B2. 2.Soit (un) la suite déﬁnie parun=bn−anpour toutn∈N. Démontrez que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimezunen fonction den. 3.Comparezanetbn. Étudiez le sens de variation des suites (an) et (bn). Inter prétez géométriquement ces résultats. 4.Démontrez que les suites (an) et (bn) sont adjacentes. 5.Soit (vn) la suite déﬁnie parv=an+bnpour toutn∈N. Démontrez que (vn) est une suite constante. En déduire que les segments [AnBn] ont tous le même milieu I. 6.Justiﬁez que les suites (an) et (bn) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.

EXERCICE27 points Commun à tous les candidats But de l’exercice :approcher ln(1+a) par un polynôme de degré 5 lorsqueaappar tient à l’intervalle [0 ;+ ∞[. Soita∈[0 ;+ ∞[.  k a a 1 (t−a) ∗ On noteI0(a)=dtet pourk∈N, on poseIk(a)=dt. k+1 01+t0(1+t) 1.CalculezI0(a) en fonction dea. 2.À l’aide d’une intégration par parties, exprimezI1(a) en fonction dea 3.À l’aide d’une intégration par parties, démontrez que

k+1k+1 (−1)a ∗ Ik+1(a)= +Ik(atout) pourk∈N. k+1 1 1 1 1 5 4 3 2 4.SoitPle polynôme déﬁni surRparP(x)=x−x+x−x+x. 5 4 3 2 Démontrez en calculantI2(a),I3(a) etI4(a), queI5(a)=ln(1+a)−P(a).  a 5 5.SoitJ(a)=(t−a) dt. CalculezJ(a). 0

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