Baccalaureat 2003 L mathématiques intégrale tous les sujets
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Baccalaureat 2003 L mathématiques intégrale tous les sujets
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[BaccalauréatL2003\
L’intégraledeseptembre2002à
juin2003
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2002 ......................3
Franceseptembre2002 ................................5
AmériqueduSudnovembre2002 .....................8
AmériqueduNordjuin2003 .........................11
Antilles-Guyanejuin2003 ........................... 14
Centresétrangersjuin2003 ..........................17
Clermontjuin2003 .................................. 21
Francejuin2003 .....................................24
Japonjuin2003 ...................................... 27
LaRéunionjuin2003 ................................31
Libanjuin2003 .......................................35 BaccalauréatLspécialité L’année2003
2 Durée:3heures
[BaccalauréatLAntillesseptembre2002\
EXERCICE 1 OBLIGATOIRE (7points)
On considèreun segment [AB] delongueur 10 centimètres etun point M dece
segment,différentdeAetB.LespointsN etP sonttelsqueAMNP estuncarré.
L’objectifdel’exerciceestdedéterminerlepoint M dusegment [AB]pourlequel la
distanceBN estminimale.Lesdistancessontexpriméesencentimètres.
I.OnposeAM=x.
1. Faireunefigure.
2. Déterminerl’intervalledesvaleurspossiblespourx.
3. Déterminerenfonctiondex ladistanceBM.
4. Déterminerenfonctiondex ladistanceBN.
(Onrappelle le théorème dePythagore:dans un triangleABCrectangle en A
2 2 2onaBC =AB +AC )
II.Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle[0;10]parp
2f(x)= 2x −20x+100.
′Lafonctiondérivée f de f estdéfiniesurl’intervalle[0;10]par
2x−10′f (x)=p .
22x −20x+100
1. a. Étudierlesvariationsdelafonction f surl’intervalle[0;10].
b. Montrerquelafonction f admetunminimumsurl’intervalle[0;10]que
l’onprécisera.
2. a. Tracerlacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormald’unité
uncentimètre.
b. Résoudregraphiquementl’équation f (x)=8.Onferaapparaîtrelestraits
de construction utiles et on donnera des valeurs approchées des solu-
tionslues.
III. En utilisant les résultats précédents, déterminer le point M du segment [AB]
pourlequelladistanceBN estminimale.
EXERCICE 2 OBLIGATOIRE (6points)
Onconsidèrelasuite(u )définieparu =8etpourtoutentiernatureln,n 0
1
u = u −5.n+1 n2
1. a. Calculerlestermesu etu .1 2
b. La suite (u ) est-elle arithmétique? géométrique? On justifiera les ré-n
ponses.
2. Onconsidèrelasuite(v )définiepourtoutentiernatureln parn
v =u +10.n n
1
a. Montrerquelasuite(v )estunesuitegéométriquederaison etcalcu-n 2
lerlepremiertermev .0
b. Exprimerletermegénéralv enfonctionden.n BaccalauréatLspécialité L’année2003
3. Déterminerlalimitedelasuite(v )puiscelledelasuite(u ).n n
AUCHOIXexercice3ouexercice4
EXERCICE 3 7points
Uneurnecontienttroisboulesvertes,uneboulebleueetcinqboulesrouges.
Ontireauhasardsimultanément troisboulesdecetteurne.
1. Déterminerlenombredechoixpossiblespourcetirage.
2. OnconsidèrelesévènementsA,B,CetDsuivants:
A:«Tirertroisboulesrouges».
B:«Tirertroisboulesdelamêmecouleur».
C:«Netireraucunebouleverte».
D:«Tireraumoinsunebouleverte».
5
a. Montrerquelaprobabilitép(A)del’évènement Aestégaleà .
42
b. Déterminerlaprobabilitédechacundesévénements B,CetD.Ondon-
neralesrésultatssousformedefractionsirréductibles.
3. Untirageestgagnantsil’ontiretroisboulesrouges.
Oneffectuequatretiragessuccessifsenremettantàchaquefoislestroisboules
tiréesdansl’urne.Touslestiragessontindépendants.
Déterminerlaprobabilitéd’obtenirexactementtroistiragesgagnants.Ondon-
−3neralerésultatarrondià10 .
EXERCICE 4 7points
OnconsidèrelesnombresA=8387592115 etB=9276312516.
1. a. Montrerque1000estdivisiblepar8.
b. MontrerqueAestcongruà3modulo8.
c. Donnerl’entiernaturelbstrictementinférieurà8telqueBsoitcongruà
b modulo8.
2. Déterminerlesentiersnaturelsstrictementinférieursà8quisontcongrusres-
pectivementàA+BetàAB.
23. a. MontrerqueB estdivisiblepar8.
2b. MontrerqueA n’estpasdivisiblepar8.
100c. MontrerqueA n’estpasdivisiblepar8.
Antilles–Guyane 4 septembre2002 [BaccalauréatLFranceseptembre2002\
Duréedel’épreuve:3heures
EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 8points
2
Une entreprise souhaite fabriquer, pour de
jeunes enfants, des toboggansdontle profila 1
l’alluredelacourbeci-contre.
0 1 2 3
³ ´→− →−
Le plan est muni d’un repère orthonormal O, ı , . On prendra 3 cm pour
unitégraphique.
L’objetdel’exerciceestdemodéliserceprofilàl’aidedelacourbereprésentativeC
d’unefonctiondéfiniesurl’intervalle[0;3]vérifiantlesconditionssuivantes:
(1)LacourbeC passeparlespointsA(0;2)etB(3;0);
(2)LacourbeC admetenchacundespointsAetBunetangenteparallèleàl’axe
desabscisses.
PartieI
1. a. Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalleRpar:
2
2f(x)=− x +2.
3
Étudier les variations de la fonction f (on ne demande pas l’étude des
limites).
b. Soitg lafonctiondéfiniesurl’intervalleRpar:
1
2
g(x)= x −2x+3.
3
Étudier les variations de la fonction g (on ne demande pas l’étude des
limites).
2. OnnoterespectivementC etC lescourbesreprésentativesdesfonctions ff g
etg. Ã !
4
a. Démontrer queC etC passent par le point K 1; et ont la mêmef g 3
tangenteTencepoint.
b. Tracersurunmêmegraphique,ladroiteT,lapartiedeC correspondantf
aux points d’abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie deC corres-g
pondantauxpointsd’abscissescomprisesentre1et3.
La courbe obtenue en réunissant les deux parties de courbes est une ré-
ponseauproblèmeposé. BaccalauréatLspécialité L’année2003
PartieII
Lebureaud’étudesaétabliquel’onpouvaitégalementmodéliserleprofilduto-
bogganàl’aided’unepartiedelacourbereprésentativeC delafonctionh,définieh
surRpar:
4 2
3 2h(x)= x − x +2.
27 3
1. Démontrerquelafonctionh vérifielesconditions(1)et(2).
2. DéterminerlescoordonnéesdupointdeC d’abscisse1etlec?fficientdirec-h
teurdelatangenteencepoint.
EXERCICE 2 OBLIGATOIRE 7points
AliceetCarolecomparentleurssalaires.Elles débutentchacuneavecunsalaire
de1500euros.
Chaquemois,àpartirdudeuxièmemois:
•Lesalaired’Aliceaugmentede8euros.
•LesalairedeCaroleaugmentede0,2%etonyajoute4euros.
Pourtoutentiernatureln,ondésignepara ,lesalairemensueleneurosqueperçoitn
Aliceàlafindu(n+1)-ièmemois,etparc ,celuiperçuparCarole.Ainsi:n
a =c =1500; a ,etc représententlessalairesperçusàlafindudeuxièmemois.0 0 1 1
1. Calculer a etc , a etc .1 1 2 2
2. a. Pourtoutentiernatureln,exprimera enfonctiondea .Quelleestlan+1 n
naturedelasuite(a )?n
b. Endéduire,pourtoutentiernatureln,l’expressiondea ,enfonctionden
n.
3. a. Justifierque,pourtoutentiernatureln :
c =1,002c +4.n+1 n
b. Onconsidèrelasuite(v )telleque,pourtoutentiernatureln, v =c +n n n
2000.
Démontrer que la suite (v ) est une suite géométrique de raison 1,002.n
Calculer v et,pourtoutentiernatureln,exprimer v enfonctionden.0 n
Endéduireque:
nc =3500×1,002 −2000.n
4. Calculer, puis comparer les salaires annuels qu’Alice et Carole ont perçus au
coursdeleurpremièreannéedetravail.
Rappel
Siq estunréeldifférentde1etn unentiernaturelsupérieurà2,
n+11−q
2 n1+q+q +¢¢¢+q = .
1−q
n(n+1)
et 1+2+¢¢¢+n= .
2
Lecandidattraiteraauchoixl’exercice3oul’exercice4
France 6 juin2002 BaccalauréatLspécialité L’année2003
EXERCICE 3 AU CHOIX 5points
Une agence de voyages de Paris organise des circuits touristiques comprenant
les sites suivants : le musée d’Orsay, le musée du Louvre, le musée Grévin, l’Arc de
Triomphe,latourEiffel,l’Assembléenationale.
1. L’agenceproposeàsesclientsunforfaitpourlavisitedequatresitesparmiles
sixcités.
a. Quelestlenombredechoixpossiblessionnetientpascomptedel’ordre
desvisites?
b. Combien de ces choix comprennent à la fois la visite de la tour Eiffel et
celledumuséed’Orsay?
2. Une étude statistique a permis d’observer que 55% des clients de l’agence
sont des femmes et 45% des hommes. De plus, parmi ces clients, 30% des
hommeset20%desfemmesvisitentl’Assembléenationale.
Onchoisitauhasardunclient.OnnoteFl’évènement«leclientestunefemme»,
Hl’évènement «leclientestunhomme»,Al’évènement «leclientvisitel’As-
semblée nationale» et A l’évènement contraire de A : «le client ne visite pas
l’Assembléenationale».
a. D’aprèslesinformationsdel’énoncé,préciserlesprobabilitésp(F),p(H),
p (A),p (A).H F
b. Reproduireetcompléterl’arbredeprobabilitéci-contre.
Endéduirelavaleurdep(A).
A
F
A
A
H
A
c. Quelle est la probabilité que le client soit un homme sachant qu’il ne
visitepasl’Assembléenationale?
EXERCICE 4 AU CHOIX 5points
erLe1 août2002seraunjeudi.Lebutduproblèmeestdedéterminerlesannées
ercomprisesentre2003et2029pourlesquelles le1 aoûttomberaaussiunjeudi.
Pources années, une année bissextile est une année dontle millésime est divisible
par4. Onrappelle qu’une année non bissextile compte 365 jours et une année bis-
sextile366jours.
1. Donnerlalistedesannéesbissextilescomprisesentre2003et2029.
2. a. Démontrerquel’ona:365≡1(modulo7)et366≡2(modulo7).
er erb. Prouver que le 1 août 2003 sera un vendredi et le 1 août 2004 un di-
manche.
erc. Préciserlejourdelasemainecorrespondantau1 aoûtdechacunedes
annéesde2005à2013.
er3. Donner la liste des années de 2003 à 2029 pour lesquelles le 1 août sera un
jeudi.
France 7 juin2002 Durée:3heures
[BaccalauréatLAmériqueduSudnovembre2002\
LECANDIDATTRAITERAOBLIGATOIREMENTL’EXERCICE1ETL’EXERCICE2ET
AUCHOIXSOITL’EXERCICE3SOITL’EXERCICE4.
L’usagedelacalculatriceestautorisépourcetteépreuve.L’attentiondescandidats
estattiréesurlefaitquelaqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondes
raisonnementsentrentpourunepartimportantedansl’appréciationdescopies.
EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 6points
À «La ferme de la poule pondeuse», chaque jour on produit des œufs de deux
taillesdifférentes:
60%desœufssontmoyenset40%desœufssontgros.
Lesœufssontclassésendeuxcatégories:ceuxdequalitéordinaireetceuxdequalité
supérieure.
Onaremarquéque:
50%desœufsmoyenssontdequalitéordinaire,
20%desgrosœufssontdequalitéordinaire.
On choisit un œuf au hasard. Le choix au hasard d’un œuf dans la production du
joursignifiequ’onseplacedansunmodèleavecéquiprobabilité.Ondéfinitlesévè-
nementssuivants:
M:«l’œufestmoyen»,
G:«l’œufestgros»,
O:«l’œufestdequalitéordinaire»,
S:«l’œufestdequalitésupérieure».
1. Donnerlesprobabilitéssuivantes:
P(G),probabilitéquel’œufsoitgros,
P (S),probabilitéquel’œufsoitdequalitésupérieuresachantqu’ilestgros.G
2. Démontrerquelaprobabilitédeprendreunœufgrosetdequalitésupérieure
estégaleà0,32.
3. C
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