Bac S maths expérimentales les sujets avec Xcas
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Niveau: Secondaire, Lycée
Bac S 2008, maths expérimentales : les 25 sujets avec Xcas Renée De Graeve avec la participation de B. Parisse 3 juillet 2008
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Bac S 2008, maths expérimentales : les 25 sujets avec Xcas Renée De Graeve avec la participation de B. Parisse 3 juillet 2008
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- xxiv -sujet
- fréquences de réussite respectives d'alice et de bob
- alice
Bac
S
2008, maths expérimentales les 25 sujets avec Xcas
Renée De Graeve avec la participation de B. Parisse
3 juillet 2008
:
Table des matières
I - Sujet 003. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II - Sujet 006. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III - Sujet 007 . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV - Sujet 010 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V - Sujet 013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI - Sujet 014 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII - Sujet 020. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII -Sujet 021 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX - Sujet 026 . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X - Sujet 028. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI - Sujet 029. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII - Sujet 030. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII -Sujet 033. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV -Sujet 039. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV - Sujet 044 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI -Sujet 045 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVII -Sujet 062 . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIIIS-ujet 063. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX -Sujet 066 . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . XX - Sujet 071 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI -Sujet 072. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXII -Sujet 073 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIIIS-ujet 090 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIVS-ujet 093 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXV -Sujet 097 . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 4 5 7 10 12 14 16 17 19 21 23 25 28 31 33 35 38 39 41 44 45 47 49 51
I - Sujet 003 On lance trois dés bien équilibrés dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus. Si la somme obtenue est égale à 9, Alice gagne. Si la somme obtenue est égale à 10, Bob gagne. Dans tous les autres cas, la partie est annulée. Le but de l’exercice est de déterminer qui, d’Alice ou de Bob, a la plus grande pro-babilité de gagner.
1. Sur un tableur, réaliser une simulation de cette expérience aléatoire. Appeler l’examinateur pour valider cette simulation. Réponses – On ouvre un tableur (menu Edit->Ajouter tableur) et on indique 10 01 lignes, – On tape dansA0,B0,C0 =rand(6)+1et on recopie vers le bas ou on remplit les colonnesA, B, Cavec le menu Maths->Nombres aléatoires – On tape dansD0 =A0+B0+C0et on recopie cette formule vers le bas. – DansE0, on tape=count_eq(9,D0 :D999)et dansE1on tape=count_eq(10,D0 :D999) On obtient : Table Edit Maths reeval val Save <No filename> E2 0 * Spreadsheet <> R1001C10 auto down fill A B C D E F G H I 0 4 3 5 12 136 0 0 0 0 1 3 1 1 5 139 0 0 0 0 2 4 6 4 14 0 0 0 0 0 3 6 5 6 17 0 0 0 0 0 4 5 3 2 10 0 0 0 0 0 5 3 6 4 13 0 0 0 0 0 6 1 3 1 5 0 0 0 0 0 7 2 3 4 9 0 0 0 0 0 8 6 1 2 9 0 0 0 0 0 9 1 2 3 6 0 0 0 0 0 10 2 3 6 11 0 0 0 0 0 11 5 4 2 11 0 0 0 0 0 12 3 3 5 11 0 0 0 0 0 13 1 1 5 7 0 0 0 0 0 14 2 4 5 11 0 0 0 0 0 15 4 4 3 11 0 0 0 0 0 16 1 3 4 8 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2. Sur un tableur, réaliser une simulation sur un échantillon de tai lle 1000 de cette expérience aléatoire et déter-miner, pour cette simulation, les fréquences de réussite respectives d’Alice et de Bob. Appeler l’examinateur pour valider la feuille de calcul construite. Réponses – dans une ligne de commandes, on initialise des variables : A :=NULL ;B :=NULL ;N :=0 – on met dansF0:=(A :=A,E0) – on met dansF1:=(B :=B,E1)
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– on met dansF2:=(N :=N+1) Explication : chaque fois que l’on appuie sur le boutonevaldu tableur, on refait les 1000 tirages,Nentaemgu de 1 et on rajoute dansAfois qu’Alice à gagné et on rajoute dansle nombre de Ble nombre de fois que Bob à gagné. On tape et on obtient en bleu les fréquences où Bob gagne e t en rouge celles où Alice gagne : plotlist(A,affichage=1);plotlist(B,affichage=4) yx:11.285 15 in 14_|_ out 13cfg Menu 12 11 25
0 5 10 15 20 On tape dans une ligne de commande sum(A)/N ; sum(B)/N On obtient :114.76,124.84 3. Est-il possible de conjecturer qui, d’Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner ? Appeler l’examinateur pour lui fournir cette réponse et lui indiquer les méthodes prévues pour les démonstrations qui suivent. Réponses On peut conjecturer que Bob a plus de chances de gagner. 4.Étude mathématique On souhaite maintenant calculer la probabilité de gagner d’Alice et de Bob. Répondre aux deux questions suivantes (dans n’importe quel ordre) : Calculer la probabilité de gagner d’Alice et de Bob. Qui, d’Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner ? Réponses Il suffit de savoir de combien de façon on peut écrire 9 et 10 comme la somme de 3 e ntiers de [1..6]. On a : 9126135144225234 10136145226235244334. Il y a 5 façons d’écrire 9 comme la somme de 3 entiers de [1..6] et 2 décompo sitions comportent des doublons. Il y a 6 façons d’écrire 10 et 3 décompositions comportent des doublon s. La probabilité d’avoir 1,2,6 est donc 3!∗1/63alors que la probabilité d’avoir 1,4,4 est 3∗1/63. Donc la probabilité d’avoir 9 est 6 3 4 1 363623629 alors que la probabilié d’avoir 10 est 6 3 4 1 3633362 6 8 La probabilité de gagner d’Alice est donc 1/9/(1/91/8)8/17 alors que celle de Bob est de 1/8/(1/91/8) 9/17
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II - Sujet 006 Soit C1 et C2 les courbes d’équations respectivesyexp(x) etyexp(−x) dans − un repere O;→u,−→vorthonormal du plan. Soita esun nombre réel quelconque. On désigne respectivement par M et N l points de C1 et C2 d’abscisseaet par (T1) et (T2) les tangentes à C1 et C2 en M et N. Les droites (T1) et (T2) coupent respectivement l’axe des abscisses en P et Q. 1. Avec un logiciel de géométrie dynamique (ou une calculatrice graphique) construire les courbes C1 et C2 et les droites (T1) et (T2). Que peut-on remarquer pour les droites (T1) et (T2) ? Appeler le professeur pour lui montrer le graphique créé et lui indiquer la conjecture faite au sujet de(T1)et de (T2). Réponses On ouvre un niveau de géométrie plane (menu Edit->Ajouter->Graph&geo 2-d) et on tape (pour la ligne défi-nissant le curseur commençant par assume on peut utiliser le menu Edit->A jouter paramètre) : C1:=plotfunc(exp(x),x,affichage=1); C2:=plotfunc(exp(-x),x,affichage=4); as M: N: T1: ge=1); T2: ge=4); P: (0,1)); Q: (0,1)); et o Fig Edit Graphe Pointeur Mode0ASave 4p(ex)a)+a*ini(t=:opMx:-5.2425 point(a+(i)*exp(a))6in 5xp(-a))nt(a+i*e:Niop=_| _ point(a+(i)*exp(-a))out 6ichageC1,M,affnaegtn(eT:1t=4cfg Menu droite(y=(exp(a)-a*exp(a)+ex1.3 a 7T2ta:=echagfaif,2,NetC(gnne2 droite(y=(exp(-a)+a*exp(-a)+( 8quni_uernt=iP:e(T1,droite(0,10 point(-1+a) 9(eti1,0_uerquniT2e(ro,d:Qi=tn point(1+a)-2 10))Q(P,mal(norueurlong 2 - -Les droites (T1) et (T2) semblent perpendiculaires. Ceci est confirmé par l’exécution de l’instruction simplifier(pente(T1)*pente(T2)) 2. À l’aide du logiciel émettre une conjecture à propos de la longu eur du segment [PQ]. Appeler le professeur pour lui présenter la conjecture et la démonstration envisagée.
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T1 M
P NT2Q
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