[BaccalauréatSPondichéry16avril2008\EXERCICE 1 4pointsCommunàtouslescandidatsx1. Soit f la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f(x)= et soit H la fonctionxe −1Zxdéfiniesur[1; +∞[parH(x)= f(t)dt.1a. Justifierque f etH sontbiendéfiniessur[1; +∞[b. Quellerelationexiste-t-ilentreH et f ? ³ ´→− →−c. SoitC lacourbereprésentativede f dansunrepèreorthonormal O, ı , duplan.Interpréterentermesd’airelenombreH(3).2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombreH(3).−xx ea. Montrerquepourtoutréelx>0, =x× .x −xe −1 1−eZ µ ¶ µ ¶ Z3 3 ¡ ¢1 1 −xb. Endéduireque f(x)dx=3ln 1− −ln 1− − ln 1−e dx.3e e1 1µ ¶ µ ¶1 1−xc. Montrerquesi16x63,alorsln 1− 6ln(1−e )6ln 1− .3e eZ Z3 3¡ ¢−xd. Endéduireunencadrementde ln 1−e dx puisde f(x)dx.1 1EXERCICE 2 5pointsCandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialitéCetexercicecontientunerestitutionorganiséedeconnaissances.PartieAOnsupposeconnuslesrésultatssuivants:1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes z , z et z trois pointsA B CA, B etC.¯ ¯ µ ¶ ³ ´¯ ¯z −z CB z −z −→ −→B C B C¯ ¯Alors = etarg = CA, CB (2π).¯ ¯z −z CA z −zA C A C2. Soitz unnombrecomplexeetsoitθunréel:iθz=e sietseulementsi|z|=1etarg(z)=θ+2kπ,oùk estunentierrelatif.Démonstrationdecours:démontrerquelarotationr d’angleαetdecentreΩd’af-′fixeωestlatransformationduplanquiàtoutpoint M d’affixez associelepoint M′d’affixez telque′ iαz −ω=e (z−ω).PartieB ³ ´→− →−Dansunrepèreorthonorrnaldirectduplancomplexe O, u , v d’unitégraphique2cm ...
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