Annales Spécialité Maths Bac S 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
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Annales Spécialité Maths Bac S 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
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BaccalauréatS
1. AmériqueduNordjuin2005
Lafigurejointeenannexeseracomplétéeaucoursdel’exerciceetremise
aveclacopie.Onylaisseraapparentslestraitsdeconstruction.
Dansleplanorienté,ondonneletriangleABCtelqueAB=2,AC=1+ 5
et
π
−→ −→
AB, AC = .
2
1. a. Démonstrationdecours :démontrerqu’ilexisteuneseulesi-
militudedirecteStransformantBenAetAenC.
b. Déterminerlerapportetunemesuredel’angledeS.
2. OnappelleΩlecentredeS.MontrerqueΩappartientaucerclede
diamètre[AB]etàladroite(BC).ConstruirelepointΩ.
3. OnnoteDl’imagedupointCparlasimilitudeS.
a. Démontrer l’alignementdes pointsA,ΩetDainsiquelepa-
rallélismedesdroites(CD)et(AB).ConstruirelepointD.
b. MontrerqueCD =3+ 5.
4. SoitEleprojetéorthogonaldupointBsurladroite(CD).
a. Expliquerlaconstructiondel’imageFdupointEparS etpla-
cerFsurlafigure.
b. QuelleestlanatureduquadrilatèreBFDE?
Annexe:exercicedespécialité
5
4
C
3
2
1
0
AB
-1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
Exercicesdespécialité 4 BaccalauréatS
2. Antilles–Guyanejuin2005
1. a. Déterminersuivantlesvaleursdel’entiernaturelnonnuln le
nrestedansladivisioneuclidiennepar9de7 .
2005b. Démontreralorsque(2005) ≡7(9).
n2. a. Démontrer que pour tout entier naturel non nuln : (10) ≡
1(9).
b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on ap-
pelleS lasommedeseschiffres.
Démontrerlarelationsuivante:N ≡S (9).
c. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est
divisiblepar9.
20053. Onsupposeque A=(2005) ;ondésignepar:
– B lasommedeschiffresde A;
– C ladeschiffresdeB ;
– D lasommedeschiffresdeC.
a. Démontrerlarelationsuivante: A≡D (9).
b. Sachant que 2005 < 10000, démontrer que A s’écrit en nu-
mérationdécimaleavecauplus8020chiffres.Endéduireque
B72180.
c. DémontrerqueC45.
d. En étudiantla listedes entiersinférieursà 45,déterminerun
majorantdeD pluspetitque15.
e. DémontrerqueD =7.
Exercicesdespécialité 5 BaccalauréatS
3. Asiejuin2005
Lebutdecetexerciceestd’étudierlessimilitudesdirectesquitransforment
l’ensemble S des sommets d’un carréC donné en l’ensemble S des1 1 2
sommetsd’uncarréC donné.2
→− →−
LeplancomplexeestrapporteàunrepèreorthonormaldirectR= O, u , v ,
unitégraphiique2cm.
OnconsidèrelespointsA,B,C,D,E,F,G,Hd’affixesrespectives
i i i i
− ,1− ,1+ , ,1−i, 3−i, 3+i, 1+i.
2 2 2 2
C estlecarrédesommetsA,B,C,DetdecentreO,C est le carré de1 1 2
sommetE,FG,HdecentreO.S est donc l’ensemble{A, B, C, D} et S2 1 2
l’ensemble{E,F,G,H}.
1. Placer tous les points dans le repèreR, construireles carrésC et1
C .2
2. Soith l’homothétiedecentreΩd’affixe−1etderapport2.Donner
l’écriturecomplexedeh etprouverqueh transformeS enS .1 2
3. Soit s une similitude directe qui transforme S en S et soit g la1 2
−1transformation g =h ◦s.
a. Quelestlerapportdelasimilitudes?
b. Prouverqueg estuneisométriequilaisseS globalementin-1
variant.
c. Démontrerqueg(O )=O .1 1
d. Endéduirequeg estl’unedestransformationssuivantes:l’iden-
π
tité, la rotationr de centre O et d’angle ,larotationr de1 1 2
2
centre O et d’angleπ,larotationr de centre O et d’angle1 3 1
π
− .
2
e. EndéduirelesquatresimilitudesdirectesquitransformentS1
enS .2
4. Étudedescentresdecessimilitudes.
a. Déterminerlesécriturescomplexesdeh◦r , h◦r , h◦r .1 2 3
b. EndéduirelescentresΩ ,Ω ,Ω decessimilitudesetlespla-1 2 3
cersurledessin.
Exercicesdespécialité 6 BaccalauréatS
4. Centresétrangersjuin2005
PartieA
SoitN unentiernaturel,impairnonpremier.
2 2OnsupposequeN =a −b oùa etb sontdeuxentiersnaturels.
1. Montrerque a etb n’ontpaslamêmeparité.
2. Montrer que N peuts’écrirecommeproduitdedeuxentiersnatu-
relsp etq.
3. Quelleestlaparitédep etdeq?
PartieB
Onadmetque250507n’estpaspremier.
Onseproposedechercherdescouplesd’entiersnaturels(a ; b)vérifiant
larelation
2 2(E) : a −250507=b .
1. SoitX unentiernaturel.
a. Donnerdansuntableau,lesrestespossiblesde X modulo9;
2puisceuxdeX modulo9.
2 2b. Sachantque a −250507=b ,déterminerlesrestespossibles
2modulo9dea −250507;endéduirelesrestespossiblesmo-
2dule9dea .
c. Montrerquelesrestespossiblesmodulo9dea sont1et8.
2. Justifierquesilecouple(a ; b)vérifielarelation(E),alorsa501.
Montrerqu’iln’existepasdesolutiondutype(501; b).
3. Onsupposequelecouple(a ; b)vérifielarelation(E).
a. Démontrerquea estcongruà503ouà505modulo9.
b. Déterminerlepluspetitentiernaturelktelquelecouple(505+
9k ; b)soitsolutionde(E),puisdonnerlecouplesolutioncor-
respondant.
PartieC
1. Déduiredespartiesprécédentesuneécriturede250507enunpro-
duitdeuxfacteurs.
2. Lesdeuxfacteurssont-ilspremiersentreeux?
3. Cetteécritureest-elleunique?
Exercicesdespécialité 7 BaccalauréatS
5. Francejuin2005
Lebutdel’exerciceestd’étudierquelquespropriétésdelafiguredonnée
enannexe.Cetteannexeseraàrendreaveclacopie.
→− →−
Onmunitlepland’unrepèreorthonormaldirect O, u , v .Lequadrila-
tèreMNPQestunquadrilatèrenoncroiséetdesensdirect.Lestriangles
MRN,NSP,PTQetQUMsontdestrianglesrectanglesisocèles,extérieurs
au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits
étantrespectivementlespointsR,S,TetU).
PartieA
Ondésigneparm, n, p et q,lesaffixes respectivesdespointsM,N, P et
Q.
1. Soit f lasimilitudedirectedecentreMquitransformeNenR.
a. Déterminerlerapportetl’angledelasimilitude f.
1+i
b. Ondésigneparr l’affixedupointR.Démontrerquer = m+
2
1−i
n, oùi désignelenombrecomplexede module1et d’ar-
2
π
gument (on pourra éventuellement utiliser l’écriture com-
2
plexedelasimilitude f).
1+i
On admettra que l’on a également les résultats s = n+
2
1−i 1+i 1−i 1+i 1−i
p, t = p+ q etu = q+ m,oùs, tetu dé-
2 2 2 2 2
signentlesaffixesrespectivesdespointsS,TetU.
2. Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le
mêmeisobarycentre.
3. a. Démontrerl’égalitéu−s=i(t−r).
b. Quepeut-onendéduirepourleslongueursdessegments[RT]
et [SU], d’une part, et pour les droites (RT) et (SU), d’autre
part?
PartieB
Cettepartieseratraitéesansutilisationdesnombrescomplexes.
1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A,qu’il
existeuneuniquerotationg quitransformeRenSetTenU.
2. Décrire comment construire géométriquement le pointΩ,centre
delarotationg.Réalisercetteconstructionsurlafiguredel’annexe.
Exercicesdespécialité 8 BaccalauréatS
6. LaRéunionjuin2005
Danscetexercice,onpourrautiliserlerésultatsuivant:
« Étant donnésdeux entiersnaturelsa etb nonnuls,si PGCD(a ; b)=1
2 2alorsPGCD(a ; b )=1».
n
3Unesuite S estdéfiniepourn>0parS = p .Onseproposedecal-( )n n
p=1
culer,pourtoutentiernaturelnonnuln,leplusgrandcommundiviseur
deS etS .n n+1
2
n(n+1)
= .1. Démontrerque,pourtoutn>0,ona:Sn
2
2. Étude du cas où n est pair. Soit k l’entier naturel non nul tel que
n=2k.
2 2 2a. DémontrerquePGCD(S ;S )=(2k+1) PGCD k ;(k+1) .2k 2k+1
b. CalculerPGCD(k ; k+1).
c. CalculerPGCD(S ;S ).2k 2k+1
3. Étudeducas oùn estimpair.Soitk l’entiernaturelnonnultelque
n=2k+1.
a. Démontrerquelesentiers2k+1et2k+3sontpremiersentre
eux.
b. CalculerPGCD(S ;S ).2k+1 2k+2
4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur
den,quel’ondéterminera,pourlaquelleS etS sontpremiersn n+1
entreeux.
Exercicesdespécialité 9 BaccalauréatS
7. Libanjuin2005
1. Onconsidèrel’équation(E):
109x−226y =1
oùx et y sontdesentiersrelatifs.
a. Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure
pourl’équation(E)?
b. Montrerquel’ensembledesolutionsde(E)estl’ensembledes
couplesdelaforme(141+226k,68+109k),oùk appartientà
Z.
Endéduirequ’ilexisteununiqueentiernaturelnonnuld in-
férieurouégalà226etununiqueentiernaturelnonnule tels
que109d =1+226e.(Onpréciseralesvaleursdesentiersd et
e.)
2. Démontrerque227estunnombrepremier.
3. OnnoteAl’ensembledes227entiersnaturelsa telsquea226.
On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la
manièresuivante:
àtoutentierdeA,f associe le reste de la division euclidienne de
109a par227.
àtoutentierdeA,g associe le reste de la division euclidienne de
141a par227.
a. Vérifierqueg[f(0)]=0.
On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fer-
mat:
Si p estunnombrepremiereta unentiernondivisiblepar
p−1p alorsa ≡1 modulop.
226b. Montrerque,quelquesoitl’entiernonnuladeA,a ≡1 [modulo227].
c. Enutilisant1.b.,endéduireque,quelquesoitl’entiernonnul
a deA.g[f(a)]=a.
Quepeut-ondirede f[(g(a)]=a?
Exercicesdespécialité 10 BaccalauréatS
8. Polynésiejuin2005
Onconsidèrelasuite(u )d’entiersnaturelsdéfinieparn
u = 140
u = 5u −6 pourtoutentiernaturelnn+1 n
1. Calculeru , u , u etu .1 2 3 4
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers
chiffresdeu ?n
2. Montrerque,pourtoutentiernatureln, u ≡u (modulo4).n+2 n
Endéduirequepourtoutentiernaturelk, u ≡2(modulo4)et2k
u ≡0(modulo4).2k+1
a. Montrerparrécurrenceque,pourtoutentiernatureln,
n+22u =5 +3.n
b. Endéduireque,pourtoutentiernatureln,2u ≡28 (modulo100).n
3. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écrituredécimale de un
suivantlesvaleursden.
4. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (u )n
estconstant.Précisersavaleur.
Exercicesdespécialité 11 BaccalauréatS
9. Pondichéryjuin2005
→− →−
Leplancomplexeestrapportéaunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
Onconsidère l’application f qui au point M d’affixe z fait correspondre
d’affixez telque:lepointM
3+4i 1−2i
z = z+ .
5 5
1. Onnotex et x , y et y lespartiesréelleset les partiesimaginaires
dez etz .
3x+4y+1
x =
5Démontrerque:
4x−3y−2
y =
5
2. a. Déterminerl’ensembledespointsinvariantspar f.
b. Quelleestlanaturedel’application f ?
3. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que z soit
réel.
4. OnchercheàdéterminerlespointsdeDdontlescoordonnéessont
entières.
2a. Donnerunesolutionparticulière(x , y )appartenantaZ de0 0
l’équation4x−3y =2.
2b. Determinerl’ensembledessolutionsappartenantàZ del’équa-
tion4x−3y =2.
5. OnconsidèrelespointsM d’affixe z =x+iy telsquex =1ety ∈Z.
LepointM = f(M)apouraffixez .
Déterminerlesentiers y telsqueRe(z)etlm(z)soiententiers(on
pourrautiliserlescongruencesmodulo5).
Exercicesdespécialité 12 BaccalauréatS
10. Nouvelle–Calédonienovembre2004
Danscetexercice,a etb désignentdesentiersstrictementpositifs.
1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que
au+bv=1alorslesnombresa etb sont
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