Corrige AGREGEXT Probleme de physique option physique 2006 AGREG PHYS
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GGGGGGGGGGGGGGGGGGGEpreuve C AGREGATION EXTERNE DE PHYSIQUE. Solution de l’épreuve C, proposée par P. DESBIOLLES ; O. JOACHIM. Première partie : ralentissement, refroidissement et piégeage d’atomes neutres. 1. Forces radiatives. 1.1. Force moyenne s’appliquant sur un atome. 1. Force électrique. Fq=Er,t;F=−qER,t;R=0a. Les forces électriques qui s’exercent sur les charges sont : qq− . ()()b. Comme r est faible devant les dimensions caractéristiques des variations du champ électrique, on peut GJGJGGJGJG⎡⎤ ⎡⎤effectuer un développement limité : F el=−qEr,t ER,t=qr.gradGJEr,t. En faisant apparaître le ( ) ( ) ( )⎣⎦⎣⎦ rR=moment dipolaire électrique, cette relation s’écrit : GJ JJJG JG GFp= .gradGJJEr,tel . ( ) rR=2. Force magnétique. GJGGa. Puisque seule la charge q possède un mouvement dans le référentiel considéré, Fq=∧vBr,t. A l’ordre le m ()dpF =∧qv B R,t=∧B R,tplus bas : m . () ()dtddd∂⎡⎤ ⎡⎤b. F m=∧p BR,t−p∧ BR,t=∧p BR,t−p∧ BR,t. () () () ()⎣⎦ ⎣⎦dt dtt ∂tGGJGGJG⎡⎤⎡⎤Fm=∧p B R,t+p∧rotE r,t . () ()⎣⎦⎣⎦rR=dtExplicitons ce dernier résultat en exprimant une composante du deuxième terme dans une base cartésienne. ⎞∂∂∂⎡⎤p∧=rot E r, t p E−p E=p E−p.grad E ⎟ , ici. ()GJJ ()∑∑jjjixx x⎢⎥ i⎣⎦ ⎟rR= ,ixx GJJiji ⎠rR=Ce résultat peut encore s’écrire : p∧=rot E r, t p grad E GJJGGr, tp.gradJE r, t . ( ) GJJ ( ) ( ) ( )()()rR==rRrR=d⎡⎤Fm=∧p B R, t+p grad E GJJr, t−p.gradJE r, t . ()( )()( ) ()⎣⎦ rRrRdt3. Force totale. En ...
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Epreuve C
AGREGATION EXTER’NE DE PHYSIQUE. Solution de l épreuve C, proposée par P. DESBIOLLES ; O. JOACHIM. Première partie : ’ ralentissement, refroidissement et piégeage d atomes neutres. 1. Forces radiatives. 1.1. Force moyenne s’appliquant sur un atome. 1. Force électrique. G JG G G JG JG JG G a. Les forces électriques qui s’exercent sur les charges sont : F q = qE r, t ; F − q = − qE R, t ; R = 0 . G b. Comme r est faible devant les dimensions caractéristiques des variations du champ électrique, on peut effectuer un dévelo G = ⎡ JGGJGJG ⎤ ⎡ r G .g JJ r J a J d G ⎤ G J E G r G , t ppement limité : F el q ⎣ E r, t − E R, t ⎦ = q ⎣ ⎦ r = J R G . En faisant apparaître le moment dipolaire électrique, cette relation s’écrit : F G el =⎣⎡ p G .g JJ r J a J d G ⎦⎤ G r = J R G J E G r G , t . 2. Force magnétique. G G JG G a. Puisque seule la charge q possède un mouvement dans le référentiel considéré, F m = qv ∧ B r, t . A l’ordre le G plus bas : G q G v J B G J R G ,tddpt J B G J R G , t F m = ∧ = ∧ . b. G F m = ddt ⎣⎡ G p ∧ J B G J R G , t ⎦⎤− G p ∧ ddt J B G J R G , t = ddt ⎣⎡ G p ∧ J B G J R G , t ⎦⎤− G p ∧∂∂ t JG B J R G , t . G F = ddt ⎡ G p J B G J R G , t ⎦⎤⎣⎡ G p J r J o G t J E G G r, t ⎤⎦ r = R m ⎣ ∧ + ∧ G J G . Explicitons ce dernier résultat en exprimant une composante du deuxième terme dans une base cartésienne. ⎞ ⎡⎢⎣ p G ∧ r J o JG t J E G r G , t ⎤⎥⎦ r G = R J G i = ∑ p j ∂∂ xE j − ∑ p j ∂∂ xE i = p x ∂∂ xE x − p G .g JJ r J a J d G E x i ⎟⎠⎟ G J G , ici. , j i j j i r = R G JJG JG G JJJJG G G JJJJG JG G ésultat peut encore s’écrire : p r Ce r ∧ ot E r, t r G = R J G = p grad E r G = R J G r, t − p.grad r G = R J G E r, t . G F m d ⎡ G p J B G J R G , t ⎤ p J g J r J a JG d E R G r, t p G .g JJ r J a J d G r R J E G r G t . = dt ⎣ ∧ ⎦ + G r = J G − G = J G , 3. Force totale. En ajoutant les deux contributions, on note une simplification et, finalement : F G el + F G m = ddt ⎣⎡ p G ∧ J B G J R G , t ⎦⎤+ p g JJ r J a J d G E r G = R J G r G , t . En prenant la valeur moyenne et en tenant compte du fait que la valeur moyenne sur une période d’une dérivée totale donne 0 pour des fonctions périodiques, JG G G JJJJG G F = F el + F m = p grad E r G = R J G r, t . 1.2. Force dipolaire, force de pression de radiation. 1. Décomposition de la force moyenne. JG G G G En notation complexe : E = E 0 r e x exp i ω t + Φ r . J F G 1 ⎧() G i ω t +Φ r G JJJJG G − i ω t +Φ r G ⎫ . ' i " E r e ad E r e =ℜ⎪⎩⎪⎨εα−α⎣⎡⎢⎝⎜⎛⎠⎟⎞⎦⎤⎥⎪⎭⎪⎬ r G = R J G 2e 0 0 gr 0
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Epreuve C
J F G 1e 0 ( ' i " ) E 0 G r J g J r J a JG d E 0 G r iE 0 G r J g J r J a JG d G G G . = 2 ℜεα−α⎢⎣⎡−Φ r ⎦⎥⎤ r = R J JG G JJJJG G G JJJJG G F . = 12 ℜ e ε 0 (α ' − i α " ) E 0 r ⎢⎣⎡ grad E 0 r − iE 0 r grad Φ r ⎥⎦⎤ r G = R J G JJJJG G G JJJJG G J F G =⎩⎨⎧ 12 ε 0 α ' E 0 r G grad E 0 r ⎫⎭⎬ r = R +−⎧⎨⎩ 12 ε 0 α "E 02 r grad Φ r ⎭⎬⎫ r = R G . G J G G J
JGJG F 2 F 1 2. Expression de la polarisabilité : a . Ecrivons la relation de la dynamique 1 à l’électron dans le référentiel de l’atome, supposé galiléen : 2 G mddt 2 r= - m Γ ddr- m ω 20 r + q E . t En multipliant cette équation par q, on obtient une équation sur le moment dipolaire. dd 2 t 2 p G + Γ ddpt G + ω 20 G = q 2 JJG exp(i t) . E 0 m En notation complexe, il vient : d 2 JG d JG 2 q 2 dt 2 P + Γ d P t + ω 0 J P G = m J E G . JGJG b. En régime forcé, l’équation étant linéaire, on cherche une solution sous la forme : P = P 0 exp i ω t . 2 JJG En injectant cette solution dans l’équation précédente, il vient : JG 0 qE 0 P = m ω 2 − ω 2 + i ωΓ . 0 JGJG Or, par définition, P 0 = ε 0 α E 0 , ce qui donne : ⎛ ⎛ ω ⎞ 2 i ωΓ ⎞ 1 − − 2 q 2 1 ⎜ ⎝ ⎜ ω 0 ⎟ ω 0 ⎠ α = m 0022 i = 0 2 2 2 εω⎛⎝ ⎜ 1 −⎛⎝ ⎜ ωω 0 ⎞⎠ ⎟ + ωω 20 Γ⎞⎠ ⎟ α⎛ ⎜ ⎛⎝ ⎜ 1 ⎝−⎛⎝ ⎜ ωω⎞⎠ ⎟ ⎠⎞⎠ ⎟ + ⎛⎝ ⎜ ωωΓ 2 ⎟ ⎞⎠ ⎟ ⎞⎠ ⎟ . ⎝ 00 Par identification, nous obtenons : ⎛⎛⎞ 2 ⎞ 1 − ω ⎛ ωΓ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎝ ω 0 ⎠⎠ ⎟ 2 ' 2 2 2 α = α 0 ⎛⎛⎛ω⎞⎞⎛ωΓ⎞⎞ et α " = α 0 ⎛⎛ 1 −⎛ ⎜ ωω⎝ ⎜ ⎞ ⎟ 2 ω⎞ 02 ⎠ ⎟ + ⎛ ⎜ ω 2 Γ ⎞ ⎟ 2 ⎞ . 1 − + 2 ⎝ ⎜ ⎝ ⎜ ⎜ ⎝ ω 0 ⎟ ⎠⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ω 0 ⎟ ⎠⎠ ⎟ ⎜ ⎝⎝ ⎜ ⎝ 0 ⎠⎠ ⎟ ⎝ ω 0 ⎠ ⎟ ⎠ A présent, on utilise le fait que l’interaction est quasi résonnante, soit : | δ | << ω 0 . ⎛ ⎛ ω ⎞ 2 ⎞ 2 ⎛ ω ⎞ 2 1 − ⎜ ω ⎟ ⎠ + ⎜ Γ 2 ⎟ ≅ ⎢⎡⎢⎣⎢⎛⎝ ⎜ 1 −⎛⎝ ⎜ ωω 0 ⎞⎠ ⎟ ⎞⎠ ⎟ ⎛⎝ ⎜ 1 + ⎛⎝ ⎜ ωω 0 ⎞⎠ ⎟ ⎞⎠ ⎟ ⎤⎥⎥⎦⎥ 2 + ⎛⎝ ⎜ ωΓ 0 ⎞ ⎟ ⎠ 2 . ⎝ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎟ ⎝ ω 0 ⎠ ⎡ δ ⎛ 2 ω ⎞⎤ 2 ⎛ Γ ⎞ 2 4 δ 2 ⎛ Γ ⎞ 2 ⎜ ⎝⎛ 1 − ⎜ ⎝⎛ωω 0 ⎟ ⎠⎞ 2 ⎠ ⎟ ⎞ 2 + ⎝ ⎜ ⎛ωω 0 Γ 2 ⎠ ⎟ ⎞ 2 ≅ ⎢⎢−⎥⎥ + = ω + ⎜ ⎝ ω ⎟ ⎠ . ⎢⎣ω 0 ⎝ ⎜ ω 0 ⎠ ⎟ ⎥⎦⎝ ⎜ ω 0 ⎠ ⎟ 020 1 Ce bilan suggère que nous avons négligé la contribution magnétique de l’onde. Dans le cas d’un mouvement non relativiste, la norme de la contribution magnétique est effectivement plus faible que celle du champ électrique.
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