UTBM bases d algebre et d analyse 2006 tc

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6le 19 Janvier 2007UTBM MT11Final Automne 2006Calculatrices interdites. Le seul document autoris¶e est une feuille A4recto-verso r¶edig¶ee µa la mainChaque exercice doit ^etre r¶edig¶e sur une ...

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le 19 Janvier 2007 UTBM MT11

Final Automne 2006 Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versore´dig´eea`lamain

Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille diﬀe´rente

Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelar´edactioncorrectedes de´monstrations.

Exercice 1(Applications directes du cours) - 5 points Danscetexercice,aucunequestionnene´cessiteplusdequelqueslignespour eˆtrere´solue 1) Peut-on trouverfune fonction continue sur]a, b[telle quef(]a, b[) = [c, d](a, b, c, d∈ R) ?Si oui, donner un exemple, sinon, justiﬁer. 2)Donnerl’ensembleded´eﬁnitionetlad´eriv´eedelafonctionre´elle`aunevariable x+1 re´elled´eﬁniepasf(x) = arccos(e). 3)Peut-ontrouverunefonctionre´elled´eﬁniesurRruselbavire´d,Rd,eev´ri´eadtlon nesoitpasde´rivablesurR? Si oui, donner un exemple, sinon, justiﬁer. 2 4)Peut-ontrouverunpolynoˆmededegre´3telqueD(X) =X−1soitP GCDde 0 P(X)etP(X)? Si oui, donner un exemple, sinon, justiﬁer. 3 5)Quelleestlenombredesolutionsre´ellesdel’e´quationx+ 2x−1 = 0?

Exercice 2(5 points) Soitnunecnitnoe`eralofcoOnidnssipof.tietcitnemeitnrtsrfnurd´eﬁniesRpar ( fn0(0) = 1 fn(xarctan() =1)pour x6= 0 x.sin( ) n ∗ 1)Pourn∈Ne´xﬁ, la fonctionfnest-elle continue? 2)Pourx∈R´xeﬁ, calculer limfn(x). n→+∞ 3) On notefpalpcitaoidne´nﬁi’elsurRqui`axassocief(x) = limn→+∞fn(x). Est-elle continue surRerrp?aLnter´ese.

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