UTBM 2001 mt12 integration algebre lineaire fonctions de plusieurs variables tronc commun semestre 1 final

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Mardi 15 janvier 2002 erExamen final MT 12 1 semestre Une rédaction complète sera appréciée. Tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. Comme dans tout document écrit, la présentation doit être irréprochable. Durée deux heures document autorisé : une feuille ...

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Mardi 15 janvier 2002 Examen final MT 12 1ersemestre

Une rédaction complète sera appréciée. Tous les résultats doivent être soigneusement justifiés. Comme dans tout document écrit, la présentation doit être irréprochable. Durée deux heures document autorisé : une feuille manuscrite aide mémoire recto Barème indicatif : PartieI: 4 + 5 + 3 PartieII et 6°) (2 pts) 1 point x 10 sauf 3°) Les deux parties sont à rédiger sur des copies séparées

1°)

12 points)Partie I (sur On considère, pourαréel positif, les intégrales suivantes : Iα=XZY∞ldxα: ex n x a) Pourα=1 l’intégrale est-elle convergente ? 1

b) Pourα≠1, déterminer une primitive de fα(x)=xlnαxlee irdudén E. sed savelruα pour lesquelles Iαest convergente. Effectuer le calcul pourα=2. c) Peut-on affirmer que si une fonction f continue et positive sur [a,+∞[ est telle qu’au voisinage de +∞, f=oGHF1JKI, alors l’intégralea∞z convergente ?f (x) dx est x 2°) Soi 1d−2i+ =0 1−d2+xi=4x2 t les équations différentielles : (E0) x y 1 x y' y (E) y' x−x2

a) Résoudre l’équation (E0). b) Déterminer quatre constantes, a, b, c et d telles que : ∀ xx /≠1d4x22i=a+b2+c+d2 x2−1 x−1 (x−1)x+1 (x+1) c) En déduire la résolution de (E).

3°) Soit la fonction f définie par f:(Rx,2y→)aR=f (x, y)=x2+4 x y+y2 dont la représentation graphique z est une surface (Σ) dans R3. a) Calculer les dérivées partielles de f, et en déduire la différentielle df. b) Déterminer une équation du plan tangent à cette surface au point A(x = 1,y =−2 , z = f(1,−2)). c) Montrer que f est solution de l’équation : x∂f)yx(,−y∂x,)y(f=2dx2−y2 i ∂x∂y

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