UNSA L3 Variable complexe Partiel du octobre
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Niveau: Supérieur
UNSA 2007/2008, L3-Variable complexe, Partiel du 29 octobre 2007. Duree : 2h. Tout document interdit. Une redaction claire et precise sera appreciee. Bareme indicatif: 7 + 6 + 7 1.a. Quelles sont les racines du polynome z2 ? 2z + 2 ? 1.b. Decomposer la fraction 1z2?2z+2 en elements simples. 1.c. Determiner le developpement de Taylor de 1z2?2z+2 au voisinage de l'origine. Quel est son rayon de convergence R? 1.d. Calculer 12pii ∫ ?r dz z2?2z+2 pour ?r(t) = re it, t ? [0, 2pi], en distinguant les cas r < R et r > R. 2. On considere la serie entiere s(z) = ∑ n≥1 zn n . 2.a. Quel est le rayon de convergence de s(z) ? 2.b. Calculer la derivee s?(z) et determiner le developpement de Taylor de s?(z) au voisinage de z0 = 12 . 2.c. En deduire le developpement de Taylor de s(z) au voisinage de z0 = 12 . Quel est son rayon de convergence ? 2.d. Comparer les domaines de definition de la fonction analytique s(z), obtenus en 2.
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UNSA 2007/2008, L3-Variable complexe, Partiel du 29 octobre 2007. Duree : 2h. Tout document interdit. Une redaction claire et precise sera appreciee. Bareme indicatif: 7 + 6 + 7 1.a. Quelles sont les racines du polynome z2 ? 2z + 2 ? 1.b. Decomposer la fraction 1z2?2z+2 en elements simples. 1.c. Determiner le developpement de Taylor de 1z2?2z+2 au voisinage de l'origine. Quel est son rayon de convergence R? 1.d. Calculer 12pii ∫ ?r dz z2?2z+2 pour ?r(t) = re it, t ? [0, 2pi], en distinguant les cas r < R et r > R. 2. On considere la serie entiere s(z) = ∑ n≥1 zn n . 2.a. Quel est le rayon de convergence de s(z) ? 2.b. Calculer la derivee s?(z) et determiner le developpement de Taylor de s?(z) au voisinage de z0 = 12 . 2.c. En deduire le developpement de Taylor de s(z) au voisinage de z0 = 12 . Quel est son rayon de convergence ? 2.d. Comparer les domaines de definition de la fonction analytique s(z), obtenus en 2.
- tion ?
- racine
- ezp ?
- dz z2
- developpement de taylor
- origine
- voisinage de z0
- rayon de convergence
UNSA 2007/2008, L3-Variable complexe, Partiel du 29 octobre 2007. Dure´e:2h.Toutdocumentinterdit. Uner´edactionclaireetpre´ciseseraappre´cie´e. Barˆemeindicatif:7+6+7
2 1.a.ltnoarseleuQsselynolmeˆoneciupsdz−2z+ 2? 1 1.b.´Dcenctioafraserlompo2e´le´ne.esplimssntme z−2z+2 1 1.c.leveeppotnemaTed´eDrmteerind´leylorde2au voisinage de z−2z+2 l’origine. Quelest son rayon de convergenceR? R 1dz it 1.d.Calculer2pourγr(t) =re ,t∈[0,2π], en distinguant 2πi γrz−2z+2 les casr < Retr > R. P n z 2.ere`itneeire´saleonsid`erOncs(z) =. n≥1n 2.a.Quel est le rayon de convergence des(z) ? 0 2.b.ulerCalcrevial´de´es(zeretd´etedrlnemippoleve´Tedtnemeaylorde) 01 s(z) au voisinage dez0= . 2 1 2.c.E´endirduedeleve´ppolnemeTedtdreyaols(z) au voisinage dez0= . 2 Quel est son rayon de convergence ? 2.d.nanotylaofalitcnCueiqseodamnimoaperlrnitiondeesded´efis(z), obtenus en 2.a et en 2.c. z z(p−1) 3.Pourp∈N\{0}, on poseB(z, p) = 1 +e+∙ ∙ ∙+e. 3.a.Montrer que pourp≥lyroeveloppementdeTaocseicffiestne´dud,l1 P n bn(p)z B(z, pnefiire´v)=t n≥0n! n nn bn(p++ 1) = 0∙ ∙ ∙+ (p−1). Quelestlerayondeconvergencedude´veloppementdeTaylordeB(z, p) ? zp z 3.b.onfonctio’n´neeqlulaetitEbaillre−1 =B(z, p)(e−1).nE´ddereui pourn≥1, p≥1,la relation n−1 X n n p=bk(p). k k=0 3.c.uresncreur´rceprratneroMnsxei’elmoˆnylopedecnetsbn(xv)e´irafitn n−1 X n n x=bk(x). k k=0 P n zx bn(x)z e−1 3.d.En admettant queB(z, x) ==z, expliciter la fonc-n≥0n!e−1 ∂B(z,x) tionβ(z) =|x=0aTedrolyeppotnemd´leelevrmteerinineet`´ael.’Dorig ∂x le rayon de convergence deβ(znemevisruce´rrenmieretD´).tsdeciencoeffitles P n βnz β(z) =, (qu’on appellenombres de Bernoulli) pourn= 0,1,2,3. n≥0n!
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