UNSA DEA Examen du mars “Representations lineaires des groupes symetriques”
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UNSA, DEA 2003/2004, Examen du 11 mars 2004. “Representations lineaires des groupes symetriques” L'espace hermitien des fonctions centrales f : Sn ? C est note R(Sn). Son produit hermitien est defini par = 1n! ∑ ??Sn f(?)g(?). Les representations (V, ?V ) sont de dimension finie et ?V designe a la fois l'action de groupe Sn ? Gl(V ) et l'action d'algebre C[Sn] ? End(V ), i.e. ?V ( ∑ ??Sn f(?)?) = ∑ ??Sn f(?)?V (?) : V ? V . Le caractere de (V, ?V ) est note ?V ? R(Sn). Chaque partition ? n definit une representation irreductible Sp? de dimension f? et de caractere ??. On note trivn (resp. sgnn) le C-espace vectoriel de dimension 1 muni de l'action triviale (resp. signature) de Sn. Chaque partition (?1, . . . , ?k) n definit un sous-groupe S? ?= S?1 ? · · · ? S?k de Sn. On note M ? = C[Sn/S?] le C-espace vectoriel de base Sn/S?.
Voir
- caractere
- linearite de l'action de sn sur sn
- representations adjacentes
- sp? de dimension f? et de caractere ??
- tableau standard
- isomorphisme de representations ?
- partition duale de ?
- action triviale
UNSA, DEA 2003/2004, Examen du 11 mars 2004. “Repr´esentationsline´airesdesgroupessym´etriques” L’espace hermitien des fonctions centralesf: Sn→Ctoe´sentR(Sn). Son P 1 produithermitienestde´finipar< f, g >=f(σ)g(σ). n!σ∈Sn Lesrepr´esentations(V, ρV) sont de dimension finie etρVnleai`gaiessfdo´ l’action de groupe Sn→Gl(Vbeer)etl’actiond’alg`C[Sn]→End(V), i.e. P P ρV(f(σ)σ) =f(σ)ρV(σ) :V→V. σ∈Snσ∈Sn Lecaracte`rede(V, ρVtes´otne)χV∈R(Snpartition). Chaqueλ`nd´fieint λ λ unerepre´sentationirr´eductibleSpdedimensionf`ectracadeeterχλ. On notetrivn(resp.sgnn) leC-espace vectoriel de dimension 1 muni de l’action triviale (resp.signature) de Sn. Chaquepartition (λ1, . . . , λk)`n λ ∼ d´efinitunsous-groupeSλ= Sλ1× ∙ ∙ ∙ ×Sλkde Snnote. OnM=C[Sn/Sλ] λ leC-espace vectoriel de base Sn/Sλde S. L’actionnsurMes´ddeuitpar lin´earite´del’actiondeSnsur Sn/Sλese´rpernoitatnmueslPelerang´´eteou,t.nt pour laquelle il existe une baseEstable sous l’action de Snrestonaee´C[E] etappel´eepermutativeD.uerxpe´rsesnoitatneVetWsont ditesadjacentessi < χV, χW>= 1. I.Caract`eresirr´eductiblesetidempotentscentraux. P I.1.Montrerqu’un´el´ementx=fx(σ)σest central dansC[Sn] (i.e. σ∈Sn ∀y∈C[Sn] :xy=yx) si et seulement sifx∈R(Sn). P I.2. Rappelerpourquoif=< χλ> χ, fλpour toutf∈R(Sn). En λ`n de´duirea`l’aidedeI.1quetout´el´ementcentralx∈C[Sn´’s]irceoutsafslmeor P P x= (< χλ, fx> χλ(σ))σ. σ∈Snλ`n λ ρderie.D)du´edEnSp( I.3. Soitx∈C[Sn] central.Montrer queSp(x)∈Sn λ ´edelatracequeT r(x) laline´arit(ρSp) =n!< χλ, fx>(On pourra utiliser que λ −1n! σ)). Conclurequ> id, f. χλ(σ) =χλ( eρSp(x) =λ< χλ xSp λ λ f 2 I.4. Soitx∈C[Sn] central et idempotent (i.e.x=xpose supp(). Onx) = {λ`n|ρ(x)6= 0}. Montrerqueρ(x) est soit l’application nulle soit λ λ Sp Sp P P λ f l’identit´e.D´eduiredeI.2etI.3quex= (χλ(σ))σ. Ex-σ∈Snλ∈supp(x)n! plicitercetteformulepourl’unit´edel’alge`breC[Sn]. ∼ I.5.Montrerquetoutealge`breA`gla’dtiserbe,quiroduestpA=A1×A2, contient des idempotents centrauxe1, e2tels quee1+e2= 1 ete1e2= 0. Indication :posere1= (1A1,0A2) ete2= (0A1,1A2e´dnE.)equeduirC[Sn] P contient une famille d’idempotents centraux (eλ)λ`ntels queeλ= 1 et, λ`n siλ6=µ,eλeµ= 0 et supp(eλ) ={λ}. P λ f I.6.De´duiredeI.4etI.5laformuleeλ=χλ(σ)σles. Expliciter n!σ∈Sn idempotents centraux (eλ)λ`npourn= 2 etn= 3. II. Calcul deχ(n−1,1). II.1.Montrerquelecaracte`red’unerepr´esentationpermutativeC[E] se calcule par la formuleχC[E](σ) = card{e∈E|σ.e=e}, σ∈Sn.
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