Universite Paris VI LM Correction de la session de rattrapage Janvier
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Universite Paris VI LM 125 – Correction de la session de rattrapage (Janvier 2010) Question de cours. a) Donner la definition du rang d'une application lineaire. b) Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels de dimension finie sur R et f : E1 ? E2 une application lineaire. Montrer (sans utiliser le theoreme du rang) que rg(f) ≤ dim(E1). Solution : Soit E1 un espace vectoriel de dimension finie, E2 un espace vectoriel et f : E1 ? E2 une application lineaire. Si (e1, e2, . . . , en) est une base de E1, alors (f(e1), f(e2), . . . , f(en)) est une famille generatrice de Im(f) qui est donc un espace vectoriel de dimension finie. Le rang de l'application lineaire f est la dimension de l'espace vectoriel Im(f). Comme Im(f) a une famille generatrice a n elements, sa dimension est inferieure ou egale a n. Exercice 1. Soit E un R-espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E. Soit g1 la restriction de g a Im(f). On a donc g1 : Im(f) ? E x 7? g(x) a) Exprimer Kerg1 en fonction de Imf et Kerg.
Voir
- espaces vectoriels de dimension finie
- coordonnees dans la base b?
- dimension
- developpement suivant la derniere
- apres d'apres
- base de r4
- rang
Universit´eParisVI LM 125 – Correction de la session de rattrapage (Janvier 2010)
Question de cours.naenlrD)noitfin´eadanurndiopaenu’dgoitacilp line´aire. b) SoientE1etE2deux espaces vectoriels de dimension finie surRetf: E1→E2dumeaeppnueairlin´tionlicatusnas(rertnoM.e`eor´ethleerisil rang) que rg(f)≤dim(E1). Solution : SoitE1un espace vectoriel de dimension finie,E2un espace vectoriel et f:E1→E2(il´nitno.eiSaeriunlicaeappe1, e2, . . . , en) est une base deE1, alors (f(e1), f(e2), . . . , f(eneedicrtare´ne´gellima)estunef)Im(f) qui est doncunespacevectorieldedimensionfinie.Lerangdel’applicationlin´eaire fest la dimension de l’espace vectorielIm(f). CommeIm(f) a une famille ge´n´eratricea`n´le´nemes,stmidae´iritfnnoseneis`agaleou´eeuren.
Exercice 1.SoitEunR-espace vectoriel etfetgdeux endomorphismes deE. Soitg1la restriction deg`aIm(f). On a donc
g1:Im(f) x
→ 7→
E g(x)
a) ExprimerKerg1en fonction deImfetKerg. b) ExprimerImg1en fonction deIm(g◦f). c) Montrer que
dim((Im(f)) +dim((Im(g))≤dim((Im(gof)) +dim(E).
Solution : a)Onales´equivalencessuivantes:
x∈Ker(g1)
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
DoncKer(g1) =Im(f)∩Ker(g).
x∈Im(f) etg(x) = 0 x∈Im(f) etx∈Ker(g) x∈Ker(g)∩Im(f).
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