Universite Lyon Master Groupes classiques et geometrie
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Niveau: Supérieur
Universite Lyon 1 – 2011-2012 Master 1 – Groupes classiques et geometrie Partiel du 6 avril 2012 Exercice 1 : axiomes de separation Soit G un groupe topologique, e son neutre. On considere les proprietes suivantes : (T0) pour tout couple (x, y) ? G?G tel que x 6= y, il existe un ouvert V tel que (x ? V et y /? V ) ou (x /? V et y ? V ) ; (T1) pour tout couple (x, y) ? G ? G tel que x 6= y, il existe un ouvert V tel que x ? V et y /? V ; (T2) pour tout couple (x, y) ? G?G tel que x 6= y, il existe deux ouverts V et W tels que (x ? V \W et y ?W \ V ). Il est clair que (T2)? (T1)? (T0). On va montrer que ces proprietes sont equivalentes pour un groupe topologique (c'est faux pour un espace topologique en general). 1. On suppose que la propriete (T0) est satisfaite. (a) Soit x un element de G distinct de e. On suppose que V est un ouvert de G contenant x mais pas e. Montrer que xV ?1 est un ouvert de G contenant e mais pas x.
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Universite Lyon 1 – 2011-2012 Master 1 – Groupes classiques et geometrie Partiel du 6 avril 2012 Exercice 1 : axiomes de separation Soit G un groupe topologique, e son neutre. On considere les proprietes suivantes : (T0) pour tout couple (x, y) ? G?G tel que x 6= y, il existe un ouvert V tel que (x ? V et y /? V ) ou (x /? V et y ? V ) ; (T1) pour tout couple (x, y) ? G ? G tel que x 6= y, il existe un ouvert V tel que x ? V et y /? V ; (T2) pour tout couple (x, y) ? G?G tel que x 6= y, il existe deux ouverts V et W tels que (x ? V \W et y ?W \ V ). Il est clair que (T2)? (T1)? (T0). On va montrer que ces proprietes sont equivalentes pour un groupe topologique (c'est faux pour un espace topologique en general). 1. On suppose que la propriete (T0) est satisfaite. (a) Soit x un element de G distinct de e. On suppose que V est un ouvert de G contenant x mais pas e. Montrer que xV ?1 est un ouvert de G contenant e mais pas x.
- orbites dans m0
- produit semi-direct
- unique matrice
- base canonique de cn
- espace topologique en general
- groupes topologiques
Universit´eLyon1–2011-2012 Master1–Groupesclassiquesetg´eom´etrie
Partiel du 6 avril 2012
Exercice1:axiomesdes´eparation SoitGun groupe topologique,eosnnconsid`eeutre.On´irpe´teelerorps:esuissntva (T0) pourtout couple (x, y)∈G×Gtel quex6=y, il existe un ouvertVtel que (x∈Vet y /∈V) ou (x /∈Vety∈V) ; (T1tout couple () pourx, y)∈G×Gtel quex6=y, il existe un ouvertVtel quex∈Vet y∈/ V; (T2tout couple () pourx, y)∈G×Gtel quex6=y, il existe deux ouvertsVetWtels que (x∈V\Wety∈W\V). Il est clair que (T2)⇒(T1)⇒(T0´erioppresecquerrtnomavnO.)rspouentevilae´uqostn´tse ungroupetopologique(c’estfauxpourunespacetopologiqueenge´ne´ral). 1.Onsupposequelaproprie´t´e(T0) est satisfaite. (a) Soitxle´neme´edtnuGdistinct dee. On suppose queVest un ouvert deGcontenant −1 xmais pase. Montrer quexVest un ouvert deGcontenantemais pasx. (b)Prouverlapropri´et´e(T1). 2.Onsupposequelaproprie´te´(T1) est satisfaite. Soientxetye´xledueme´esdnttiissdntG −1−1 etUun ouvert contenantxymais pase. On notef:G×G→G, (g, h)7→xgy h. −1 (a) Montrerquef(U) contient une partie de la formeV1×V2`o,uV1etV2sont deux ouverts contenante. (b)End´eduirelapropri´et´e(T2).
Exercice2:´etuded’unproduitsemi-direct n Soitnun entier naturel non nul. On identifieRcaee’ps`laMn,1(R) des matrices ayantn lignes et 1 colonne. On noteInmroftaalamtriceidentit´eden×n. On noteGl’ensemble des matricesg∈GLn+1(R)dmetquiaunedtentsopmoce´bnenoitiladecslouiesrmfontvae: g v 0n gou`=g0∈GLn(R), v∈R. 0 1
1.V´erifierqueGg-orpufetsnuossuLeeGedm´ern+1(R). 2. OnnoteH(resp.K) la partie deGecstairedmse´seformgtelles que l’on ait, avec les notations ci-dessus : g0=In(resp.v= 0). Montrer queHetKro-gussormfeesupe´edsedtnosGet queHgu´estintsid.e 3. MontrerqueGgilopotoctredii-euqmorptisoesstmedoiunurpeha`HoK. Expliciter le morphisme d’actionK→Aut(Hodprtsuifin´eceit.tc-imeerid)uqdi 4. Exhiberun isomorphisme entreG/HetK. 5. Exhiberun isomorphisme entreGet un groupe bien connu.
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