Niveau: Supérieur
Universite Lyon 1 – 2011-2012 Master 1 – Groupes classiques et geometrie Partiel du 6 avril 2012 Exercice 1 : axiomes de separation 1. (a) Comme l'inversion ? : G ? G, g 7? g?1 est un homeomorphisme (continue et involu- tive), V ?1 est un ouvert. Comme la translation a gauche Lx : G ? G, g 7? xg est un homeomorphisme (elle est continue, de meme que L?1x = Lx?1), xV ?1 est un homeomorphisme. Enfin, x appartient a V donc e = xx?1 appartient a xV ?1. D'autre part, x = xe?1 n'ap- partient pas a xV ?1 car e n'appartient pas a V . (Ceci prouve la propriete T1 pour y = e.) (b) (L'idee sous-jacente est le principe de translation.) Soit x et y deux elements distincts de G, de sorte que e et x?1y sont distincts. Par (T0), il existe un ouvert U qui contient un seul des deux elements e et x. Quitte a remplacer U par xU?1 si U contient x mais pas e, on voit qu'il existe donc un ouvert U de G qui contient e mais pas x?1y. Posant alors V = xU , on voit que V contient x = xe mais pas y = xx?1y. 2.
- base e?
- m0 ?
- b?glk- orbites dans m0
- produit semi-direct
- definition de la topologie quotient
- image d'inverse
- g0 ?
- matrice colonne
- ?m0