UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

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chaeh

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01 mars 2009

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Niveau: Supérieur
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Date : 27 mars 2009 Calculatrices non autorisees Horaire : 9h-11h Exercice 1 Montrer la convergence uniforme des suites de fonctions definies ci-dessous a) fn(x) = arctan(x + n) sur [ 0, +∞ [ , b) fn(x) = x(1? x)n sur [ 0, 1 ] . Exercice 2 Montrer la convergence des series dont le terme general est a) un = ch 1 n ?cos 1 n , b) vn = (n!)2 (2n)! , c) wn = 1 n3(n1/n ? 1)2 , d) tn = sin n sin 1 n . Exercice 3 Calculer la somme ∞ ∑ n=2 1 n(n? 1) . Exercice 4 Soit a > 0, et n ? N. On definit sur [ 0, +∞ [ la fonction fn(x) par fn(x) = xae?nx . a) Calculer la somme f(x) de la serie de terme general fn(x).

convergence des series

serie geometrique de raison e?x

a?1e?nx ?

conditions d'application du critere d'abel

sinnxn de la serie

convergence uniforme de la serie

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01 mars 2009

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI2na´ne`em´reeeeuDt:jesudusreeu2h Analyse 2Semestre 3bisResponsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautorise´s Date:27mars2009Calculatricesnonautorise´es Horaire : 9h11h

Exercice 1ofindemrussesetilaernvcogeereunceicsiedssuosdterfoonncMtionsd´eﬁn n a)fn(x) = arctan(x+n) sur[ 0,+∞[,b)fn(x) =x(1−x) sur[ 0,1 ] . Exercice 2onsdettls´esieeregredecnalrevnocnortMe´areltsreem´gne 2 1 1(n!) 11 a)un= ch−cos, b)vn=, c)wn=, d)tn= sinnsin. 3 1/n2 n n(2n)!n(n−1)n ∞ X 1 Exercice 3Calculer la somme. n(n−1) n=2

Exercice 4Soita >0, etn∈Nustinﬁe´nd.O0[r,+∞fonction[ lafn(x) par a−nx fn(x) =x e. a) Calculer la sommef(xle´ar´gnereemd)saleire´tedefn(x).

b)Montrerquelase´riedetermeg´en´eralfnconverge normalement si et seulement sia >1.

c)De´terminerlalimiteen0def(xa`etieraremtp)c,oimelttcef0(dne’uQ.)itt´eduon pourlaconvergenceuniformedelase´rie?

d)Montrerquelase´riedetermeg´en´eralfncnoevgruein0r]suntmeelacoltneme´mrof,+∞[ .

Exercice 5Pour toutn∈N, on posean= sinnei`nteder´easeeri`dislereote,nocn n termege´ne´ralanx.

a) Montrer que le rayonRdelas´er.e1gsardnuqeiseptul

b) En raisonnant par l’absurde, et en transformantan+1−an−1montrer que la suite (an) neconvergepasvers0.Qu’end´eduitonpourlerayonR? ∞ X n c) Pour toutxtel que−R < x < R, calculer la sommeS(x) =sinn xlas´deerie n=0 entie`re.

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