UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

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chaeh

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01 octobre 2005

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Niveau: Supérieur
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET D'EXAMEN DIPLOME : LMI 3eme semestre Duree du sujet : 2 heures UE 3.01 Analyse 2 Responsable : G.Eguether Partiel d'octobre Documents non autorises Date : 26 octobre 2005 Calculatrices non autorisees Horaire : 13h30-15h30 1. En posant u = x2, calculer l'integrale ∞ ∫ √ 3 dx x(1 + x2) (1 pt). En deduire ∞ ∫ √ 3 arctanx x2 dx (1 pt). 2. Calculer 1 ∫ 0 √ 1? x x dx en posant x = sin 2 t (2 pt). 3. Calculer 1 ∫ 0 dx x? i (1 pt). 4. Soit p un reel positif. Soit la fonction f definie sur [ 0, 1 ] par f(x) = xp. a) Donner deux raisons permettant d'affirmer que f est Riemann-integrable (1 pt). b) On pose, si n ≥ 1, un = 1 np+1 n ∑ k=1 kp . Trouver la limite de la suite (un)n≥1 (2 pt). 5. Soit F la fonction definie sur R par F (x) = 2x ∫ x dt√ t4 + t2 + 4 .

arctanx x2

riemann integrable

arcsin √

sujet des examens

majorant irra- tionnel

reduisant au meme denominateur

quantite conjuguee du numerateur

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Riemann integral

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

SUJET D’EXAMEN

DIPLOME : LMIesertesem3`em UE 3.01 Analyse 2 Partiel d’octobre Date : 26 octobre 2005 Horaire : 13h3015h30

Dure´edusujet:2heures Responsable : G.Eguether Documentsnonautorise´s Calculatricesnonautoris´ees

∞ ∞ Z Z dxarctanx 2 1. En posantu=xrge´ela,ccualrllent’iiuer(1pt).End´eddx(1 pt). 2 2 x(1 +x)x √ 3 3 1 Z 1−x 2 2. Calculerdxen posantx= sint(2 pt). x 0 1 Z dx 3. Calculer(1 pt). x−i 0 p 4. Soitpsipof.tinruel´ecnitnooStialoffr[0d´eﬁniesu,1 ]parf(x) =x. a) Donner deux raisons permettant d’aﬃrmer quefaibnltem´aengnr)t.Rie(1pets n X 1 p b) On pose, sin≥1,un=k .Trouver la limite de la suite (un)n≥1(2 pt). p+1 n k=1 2x Z dt 5. SoitFndioﬁn´esuierlfanotcRparF(x) =. 4 2 t+t+ 4 x a) Montrer queFest une fonction impaire(1 pt).

0 b) Montrer que la fonctionFe´iravlbsedtculerepuiscalF(x) pourxlee´´dteresrlerz´eretnemios 0 deF(4 pt). x c) Montrer que pour toutx >se0il´tonal0,´egaesin≤F(x)≤(1 pt). 4 2 x+x+ 4 d)De´duiredecequipre´c`edequelafonctionFsebtro´neeusrRet donner un majorant irra tionnel de|F|. Tracer approximativement le graphe deF(3 pt).

6.a)Enoncerlapremie`reformuledelamoyenne(1pt). 4n n+1 Z Z −t−t 1 +e1 +e b) Calculerlimdtet lim(1 pt)dt(1 pt). n→+∞n→+∞ t t n n

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