UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

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chaeh

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01 juin 2007

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Niveau: Supérieur
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Date : 21 juin 2007 Calculatrices non autorisees Horaire : 13h30-15h30 Exercice 1 Pour tout entier n ≥ 0 et pour tout reel x on pose fn(x) = nx3 1 + nx2 . a) Trouver la limite simple f de la suite de fonctions (fn)n≥0. b) Calculer la norme infinie de f ? fn. La suite (fn)n≥0 converge-t-elle uniformement vers f sur R ? c) Trouver la limite de la suite ? ? 2 ∫ 0 fn(x) dx ? ? n≥0 . Exercice 2 Determiner, suivant la valeur du nombre reel non nul ?, la nature de la serie de terme general 1n??1(n? 1)1/? . Exercice 3 Etudier la nature de la serie de terme general un = 2nn!n?n. Exercice 4 Determiner les solutions de l'equation differentielle xy??(x) + xy?(x) + y = 0, developpables en serie entiere. Exercice 5 Determiner le rayon de convergence R de la serie entiere de terme general 2nxn ln(en + n + 1) .

n2 ∫

a1x ∞

indice de sommation

limite sous le signe d'integration

reduisant au meme denominateur

solution de l'equation differentielle

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01 juin 2007

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI2na´ne`em´reeeeuDt:jesudusreeu2h Analyse 2Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautorise´s Date:21juin2007Calculatricesnonautorise´es Horaire : 13h3015h30

Exercice 1Pour tout entiern≥pte0truortuolee´xon pose a) Trouver la limite simplefde la suite de fonctions (fn)n≥0.

3 nx fn(x) =. 2 1 +nx

b) Calculer la norme inﬁnie def−fn. La suite (fn)n≥0ernvtgecontversofmre´emelluein fsurR?   2 Z   c) Trouver la limite de la suitefn(x)dx . 0 n≥0 Exercice 2,lsauviaivnaenrtdtuenromleDu´re´reebmerunlnlnoαuratan,l´easeledeir 1 determege´ne´ral. α−1 1/α n(n−1) n−n Exercice 3anrlurateled´easdeirrete´geme´nearltEdueiun= 2n!n.

00 0 Exercice 4edsnoitulosselre´eiﬀndioatqu´el’eertneillrmin´eteDxy(x) +xy(x) +y= 0, d´eveloppablesense´rieenti`ere.

Exercice 5ednoyareegrevnocetD´ncerlnemierReredite`gee´etmrdelaieens´erern´al n n 2x .saLire´nocevergetellesix=R? six=−R? n ln(e+n+ 1) Exercice 6Soitfune fonction continue surRonnctilafoeedeir´vdae´ellrlauc.CF 2 x Z 2 de´ﬁnieparF(x) = (f(t)−x)dt . 2x ∞ Z dx Exercice 7egralceonvuel’int´colMltunreereqcrreegteacalgreeitt´ent (x+ 1)x−1 1 en faisant le changement de variablet=x−1.

Exercice 8

2 2n Z x arctan n D´eterminerlalimitedelasuite(un)n≥1uo`un=dx . x 2 n

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