Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées
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Niveau: Supérieur
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2010 Partiel, 2 avril 2010, durée 2 heures. – Ce sujet comporte 4 pages, dont une table de la loi normale. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n'a pas valeur contractuelle. – Documents autorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d'IS, diction- naire bilingue pour étudiants étrangers. – Calculatrices autorisées. Ex 1. (3 points) On note (Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (?,F, P ) et on pose Sn = ∑n k=1 Xk pour tout n ≥ 1. On suppose vérifiées les conditions suivantes. i) Il existe une variable aléatoire intégrable Z telle que pour tout k ≥ 1, |Xk| ≤ Z p.s. ii) Les Xk ont même espérance. iii) Sn n converge presque-sûrement quand n tend vers l'infini vers un réel a. 1) Montrez que la convergence de Sn n vers a a lieu aussi au sens L1, autrement dit : E ? ? ? ? Sn n ? a ? ? ? ? ?????n?+∞ 0. 2) En déduire que a = EX1.
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- cours - matière potentielle : is
- cours - matière potentielle : ipe
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2010 Partiel, 2 avril 2010, durée 2 heures. – Ce sujet comporte 4 pages, dont une table de la loi normale. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n'a pas valeur contractuelle. – Documents autorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d'IS, diction- naire bilingue pour étudiants étrangers. – Calculatrices autorisées. Ex 1. (3 points) On note (Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (?,F, P ) et on pose Sn = ∑n k=1 Xk pour tout n ≥ 1. On suppose vérifiées les conditions suivantes. i) Il existe une variable aléatoire intégrable Z telle que pour tout k ≥ 1, |Xk| ≤ Z p.s. ii) Les Xk ont même espérance. iii) Sn n converge presque-sûrement quand n tend vers l'infini vers un réel a. 1) Montrez que la convergence de Sn n vers a a lieu aussi au sens L1, autrement dit : E ? ? ? ? Sn n ? a ? ? ? ? ?????n?+∞ 0. 2) En déduire que a = EX1.
- naire bilingue pour étudiants étrangers
- temps d'attente
- horloge h0
- éclair pendant l'intervalle
- u0 mesurable par l'horloge h0
- liaison aérienne
- table de la loi normale
IS Math314
Université U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
Partiel, 2 avril 2010, durée 2 heures.
Année 2010
– Cesujet comporte4pages, dont une table de la loi normale. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n’a pas valeur contractuelle. – Documentsautorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d’IS, diction-naire bilingue pour étudiants étrangers. – Calculatricesautorisées.
Ex 1.(3 points) On note(Xk)k≥1une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace P n probabilisé(Ω,F, P)et on poseSn=Xkpour toutn≥1. On suppose vérifiées k=1 les conditions suivantes. i) Ilexiste une variable aléatoire intégrableZtelle que pour toutk≥1,|Xk| ≤Zp.s. ii) LesXkont même espérance. Sn iii) convergepresque-sûrement quandntend vers l’infini vers un réela. n Sn 1 1) Montrezque la convergence deversaa lieu aussi au sensL, autrement dit : n Sn E−a−−−−→0. n→+∞ n 2) Endéduire quea=EX1. 3) Montrezqu’en particulier les conditions i) et ii) sont satisfaites lorsque lesXk sont de même loi vérifiantP(|X1| ≤c) = 1pour une certaine constantec. Ex 2.Convergence p.s. de séries (5 points) On note(Xk)k≥1une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé(Ω,F, P)et(ak)k≥1une suite de réels. 1) Onsuppose que les séries +∞+∞ X X aketP(Xk6=ak) k=1k=1 P +∞ sont convergentes. Montrez qu’alors la sérieXkconverge presque sûrement. Indi-k=1 cation : on peut utiliser le lemme de Borel-Cantelli pour voir que le comportement de Xkdevient très « stable » à partir d’un certain rangk0. . .aléatoire.
