Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées
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Niveau: Supérieur
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2006 Partiel, 12 mai 2006, durée 2 heures. – Ce sujet comporte 3 pages, incluant une table de la f.d.r. gaussienne standard. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n'a pas valeur contractuelle. – Documents autorisés : polycopié du cours IPE, polycopié chapitre 1 du cours d'IS. – Calculatrices autorisées. Ex 1. Pêche scientifique (3 points) Une rivière contient un très grand nombre d'écrevisses. On en pêche 900, une par une en notant si elle est parasitée avant de la relâcher et de pêcher la suivante. On observe ainsi 240 écrevisses parasitées. Donnez un intervalle de confiance au niveau 98% pour la proportion inconnue p d'écrevisses parasitées dans la rivière. Ex 2. Encore une question de dé (3 points) On lance n fois un dé équilibré et on note Sn le nombre de « six » obtenus. Écrivez Sn comme la somme de n v.a. de Bernoulli dont vous préciserez le paramètre, l'espérance et la variance. En utilisant l'approximation fournie par le théorème de de Moivre Laplace, déterminez à partir de quelle valeur de n, l'inégalité |Sn/n?1/6| < 0, 01 est vérifiée avec une probabilité d'au moins 90%.
Voir
- cours - matière potentielle : is
- cours - matière potentielle : ipe
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2006 Partiel, 12 mai 2006, durée 2 heures. – Ce sujet comporte 3 pages, incluant une table de la f.d.r. gaussienne standard. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n'a pas valeur contractuelle. – Documents autorisés : polycopié du cours IPE, polycopié chapitre 1 du cours d'IS. – Calculatrices autorisées. Ex 1. Pêche scientifique (3 points) Une rivière contient un très grand nombre d'écrevisses. On en pêche 900, une par une en notant si elle est parasitée avant de la relâcher et de pêcher la suivante. On observe ainsi 240 écrevisses parasitées. Donnez un intervalle de confiance au niveau 98% pour la proportion inconnue p d'écrevisses parasitées dans la rivière. Ex 2. Encore une question de dé (3 points) On lance n fois un dé équilibré et on note Sn le nombre de « six » obtenus. Écrivez Sn comme la somme de n v.a. de Bernoulli dont vous préciserez le paramètre, l'espérance et la variance. En utilisant l'approximation fournie par le théorème de de Moivre Laplace, déterminez à partir de quelle valeur de n, l'inégalité |Sn/n?1/6| < 0, 01 est vérifiée avec une probabilité d'au moins 90%.
- conver- gence en probabilité de tn
- variable aléatoire de loi uniforme
- loi uniforme
- probabilité
- unicité
- y1 ?
IS Math314
Université U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
Partiel,12mai2006,durée2heures.
Année 2006
– Cesujet comporte3pages, incluant une table de la f.d.r. gaussienne standard. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n’a pas valeur contractuelle. – Documentsautorisés : polycopié du cours IPE, polycopié chapitre 1 du cours d’IS. – Calculatricesautorisées.
Ex 1.Pêche scientifique (3 points) Une rivière contient un très grand nombre d’écrevisses. On en pêche900, une par une en notant si elle est parasitée avant de la relâcher et de pêcher la suivante. On observe ainsi240écrevisses parasitées. Donnez un intervalle de confiance au niveau98%pour la proportion inconnuepd’écrevisses parasitées dans la rivière.
Ex 2.Encore une question de dé (3 points) On lancenfois un dé équilibré et on noteSnle nombre de « six » obtenus. ÉcrivezSn comme la somme denv.a. de Bernoulli dont vous préciserez le paramètre, l’espérance et la variance. En utilisant l’approximation fournie par le théorème de de Moivre Laplace, déterminez à partir de quelle valeur den, l’inégalité|Sn/n−1/6|<0,01est vérifiée avec une probabilité d’au moins90%.
Ex 3.Différence de sommes (5 points) On suppose que les deux suites de variables aléatoires(Xi)i≥1et(Yi)i≥1sont définies sur le même espace probabilisé(Ω,F, P)et vérifient les hypothèses suivantes : a) chacunede ces suites est i.i.d.; 2 =:σ, b)XietYisont de carré intégrable,EXi=:m1,EYi=:m2,VarXi1>0 2 VarYi=:σ >0; 2 c) lessuites(Xi)i≥1et(Yi)i≥1sont indépendantes l’une de l’autre, ce qui implique 2 notamment que pour toute fonction mesurableg:R→R,(g(Xi, Yi))i≥1est une suite de v.a. indépendantes et aussi que pour touti≥1,XietYisont indépen-dantes. On pose pour toutn≥1,
n X Sn:=Xi, i=1
n X Tn:=Yi. i=1
