Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées
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Niveau: Supérieur
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2007 Corrigé du Devoir no 1 Ce devoir était le sujet intégral du partiel d'I.S. 2006 Ex 1. Pêche scientifique Sur 900 écrevisses pêchées et observées une par une avant d'être relâchées dans la rivière, 240 sont parasitées. On cherche un intervalle de confiance au niveau 98% pour la proportion inconnue p d'écrevisses parasitées dans la rivière. La procédure suivie s'apparente à un tirage avec remise de boules dans une urne. Le nombre d'écrevisses parasitées dans un échantillon de taille n = 900 est donc une variable aléatoire Sn de loi binomiale Bin(n, p). L'espérance et la variance de Sn valent respectivement np et np(1?p). Le théorème de de Moivre Laplace nous dit que la somme normalisée S?n := Sn ? ESn√ VarSn = Sn ? np √ np(1? p) = √ n p(1? p) (Sn n ? p ) converge en loi quand n tend vers l'infini vers Z gaussienne standard N(0, 1). Cette convergence légitime l'approximation de la loi de S?n par celle de Z pour n grand (ap- proximation gaussienne). En notant ? la fonction de répartition de Z, on peut écrire en particulier : ?t > 0, P (|S?n| ≤ t) ' ?(t)? ?(?t) = 2?(t)? 1.
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- cours - matière potentielle : i
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2007 Corrigé du Devoir no 1 Ce devoir était le sujet intégral du partiel d'I.S. 2006 Ex 1. Pêche scientifique Sur 900 écrevisses pêchées et observées une par une avant d'être relâchées dans la rivière, 240 sont parasitées. On cherche un intervalle de confiance au niveau 98% pour la proportion inconnue p d'écrevisses parasitées dans la rivière. La procédure suivie s'apparente à un tirage avec remise de boules dans une urne. Le nombre d'écrevisses parasitées dans un échantillon de taille n = 900 est donc une variable aléatoire Sn de loi binomiale Bin(n, p). L'espérance et la variance de Sn valent respectivement np et np(1?p). Le théorème de de Moivre Laplace nous dit que la somme normalisée S?n := Sn ? ESn√ VarSn = Sn ? np √ np(1? p) = √ n p(1? p) (Sn n ? p ) converge en loi quand n tend vers l'infini vers Z gaussienne standard N(0, 1). Cette convergence légitime l'approximation de la loi de S?n par celle de Z pour n grand (ap- proximation gaussienne). En notant ? la fonction de répartition de Z, on peut écrire en particulier : ?t > 0, P (|S?n| ≤ t) ' ?(t)? ?(?t) = 2?(t)? 1.
- intervalle de confiance avec variance
- erreur d'approximation gaussienne dans le tlc avec autonormali- sation
- erreur d'approximation gaussienne
- sn ?
- intervalle de confiance
IS Math314
Université U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
Année 2007
o Corrigé du Devoir n1 Ce devoir était le sujet intégral du partiel d’I.S. 2006 Ex 1.Pêche scientifique Sur900écrevisses pêchées et observées une par une avant d’être relâchées dans la rivière,240sont parasitées. On cherche un intervalle de confiance au niveau98%pour la proportion inconnuepd’écrevisses parasitées dans la rivière. La procédure suivie s’apparente à un tirage avec remise de boules dans une urne. Le nombre d’écrevisses parasitées dans un échantillon de taillen= 900est donc une variable aléatoireSnde loi binomialeBin(n, p). L’espérance et la variance deSnvalent respectivementnpetnp(1−p). Le théorème de de Moivre Laplace nous dit que la somme normalisée r S−Snp n ∗Sn−ESn nn S:=√=p=−p n p(1−p)n VarSnnp(1−p) converge en loi quandntend vers l’infini versZgaussienne standardN(0,1). Cette ∗ convergence légitime l’approximation de la loi deSpar celle deZpourngrand (ap-n proximation gaussienne). En notantΦla fonction de répartition deZ, on peut écrire en particulier : ∗ ∀t >0, P(|S| ≤t)'Φ(t)−Φ(−t) = 2Φ(t)−1. n La résolution numérique de l’équation2Φ(t)−1 = 0,98à l’aide de la table des valeurs 1 deΦnous donne la valeurt= 2,33. En négligeant l’erreur d’approximation gaussienne, on peut donc parier avec probabilité de succès0,98sur la réalisation de l’encadrement : p p S ∗n2,33p(1−p)Sn2,33p(1−p) |S| ≤2,33≤⇔ − √p≤+√(1) n n nn n Cet encadrement de la valeur inconnuepa l’inconvénient d’avoir des bornes qui dé-p pendent elles-même depviala quantitép(1−p). On peut proposer deux façons d’y remédier. –Intervalle de confiance avec variance majorée. On remarque que la fonctionp7→ p p(1−p)atteint son maximum sur[0,1]pourp= 1/2, d’où la majorationp(1−p)≤ −2 1. Ici il est prudent de prendre la valeur approchée par excès à10qui élargira légèrement l’in-tervalle de confiance. 0n pourrait obtenir une valeur plus précise detparinterpolation linéaire, mais cette précision serait un peu illusoire compte-tenu de l’erreur sur le niveau de confiance réel dûe à l’approximation gaussienne.
