UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES M2 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SEMAINE
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Niveau: Supérieur, Bac+5
UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES(M2) 2010-2011 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SEMAINE 4 Geometrie differentielle. 1 - a) Montrer que la relation xy5 ? x4 + y = 0 definit y comme une fonction implicite ? de x au voisinage de (0, 0). b) Allure de la courbe d'equation cartesienne xy5 ? x4 + y = 0. c) Determiner le developpement limite de ? a l'ordre 40 en 0. 2 - Soit S la surface d'equation z = 2x+ y + x2 ? y2 + xy + x4 ? y3. Determiner son plan tangent au point (0, 0, 0). Etudier, au voisinage de (0, 0, 0), la position de S par rapport a son plan tangent en ce point. 3 - Soit S la surface d'equation z = x2?3y2 +2xy. Determiner l'intersection de S avec son plan tangent au point (0, 0, 0). Etudier la position de S par rapport a son plan tangent en (0, 0, 0). 4 - Trouvez les plans tangents a l'ellipsoıde (E) d'equation x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 qui coupent les axes en A, B, C tels que OA = OB = OC. 5 - Soit f une fonction de classe C2 de ]a, b[ dans IR, ou 0 < a < b, et soit ? la courbe, de IR3 muni d'un repere orthonorme, d'equations : z = f(y
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UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES(M2) 2010-2011 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SEMAINE 4 Geometrie differentielle. 1 - a) Montrer que la relation xy5 ? x4 + y = 0 definit y comme une fonction implicite ? de x au voisinage de (0, 0). b) Allure de la courbe d'equation cartesienne xy5 ? x4 + y = 0. c) Determiner le developpement limite de ? a l'ordre 40 en 0. 2 - Soit S la surface d'equation z = 2x+ y + x2 ? y2 + xy + x4 ? y3. Determiner son plan tangent au point (0, 0, 0). Etudier, au voisinage de (0, 0, 0), la position de S par rapport a son plan tangent en ce point. 3 - Soit S la surface d'equation z = x2?3y2 +2xy. Determiner l'intersection de S avec son plan tangent au point (0, 0, 0). Etudier la position de S par rapport a son plan tangent en (0, 0, 0). 4 - Trouvez les plans tangents a l'ellipsoıde (E) d'equation x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 qui coupent les axes en A, B, C tels que OA = OB = OC. 5 - Soit f une fonction de classe C2 de ]a, b[ dans IR, ou 0 < a < b, et soit ? la courbe, de IR3 muni d'un repere orthonorme, d'equations : z = f(y
- surface d'equation z
- definie par les equations
- cone de revolution d'axe oz
- courbes ?
- equation cartesienne
- plans tangents
- allure de la courbe d'equation cartesienne
´ ´ UNIVERSITE D’ORLEANS ´ ´ DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
G´eom´etriediffe´rentielle.
CAPES(M2) 2010-2011 SEMAINE 4
5 4 1 -a) Montrer que la relationxy−x+y´dfieint0=ycomme une fonction impliciteϕ dexau voisinage de (0,0). 5 4 b)Alluredelacourbed’´equationcarte´siennexy−x+y= 0. c)De´terminerled´eveloppementlimite´deϕ`o’lardre40en0. 2 24 3 2 -SoitSlsaruafec’de´uqnioatz= 2x+y+x−y+xy+x−yete´D.ersorminnnpla tangent au point (0,0,0). Etudier, au voisinage de (0,0,0), la position deSpar rapport a`sonplantangentencepoint. 2 2 3 -SoitSacrfsulaitnoqeaude´’z=x−3y+ 2xylt’eirnm.iDn´eerectitersnoedSavec son plan tangent au point (0,0,0). Etudier la position deSntgeparrapoptra`ospnaltnna en (0,0,0). 4 -uorTlzevlpsetsnallpilae’tn`snaegde(so¨ıEequa)d’´noit 2 2 2 x y z + + =1 2 2 2 a b c qui coupent les axes enA, B, Ctels queOA=OB=OC. 2 5 -Soitfune fonction de classeCde ]a, bo`R,s[Idanu0< a < b, et soit Γ la courbe, 3 deIRmunid’unrepe`reorthonorme´,d’e´quations:z=f(y), x= 0. SoitSl’ensemble des points obtenus par rotation de Γ autour de l’axe 0z. √ 2 22 22 2 Montrer queSeonuati´’qecadeusfrtsalz=f(x+y) avecxa <+y <b. Donnerl’e´quationduplantangenta`Stdeparam`etaruep(oinx0, y0). 6 -O)relesarucnnois`datqunpiocefa´ed’(ee´erotmararte´ 2 3 (u, v)7→ {(2 + cosu) cosv,(2 + cosu) sinv,sinu},[0,2π[→reoetrohonmre´`pernu’dinumRI. 1)Montrerqueles”courbescoordonne´es”obtenuesenfixantd’unepartu=u0, d’autre partv=v0utseenqrer’ceue.acntMolaursrfsufxuedtnodsellimaesclerecss´eactr surfaceder´evolutionautourde(0z). 2) Montrer que tout pointMecafrusaleddnoialpunuqtaene´enurreim.Detlier´eguestr tangent enM0(u0, v0).ouTr.ecafruart´esiennedelasevurene´uqtaoicn 7 -talaerinetteenngmrete´DintauponasoellpetruucalA(0,0,efinieΓd´o1u)r`balace parlese´quations 2 2 22 2 x+y+z−1 = 0, x+y−2x= 0 1
(Montrer que, au voisinage de(1,−1,1), la courbeΓmdaedalofmreetunparam´etrage 3 t7→(α(t), t, β(t))deIdansIRou`Iest un intervalle ouvert qui contient0). 3 8 -faurasals`ntgeantsnalpselrenimreD´ettaoinec’de´uqz−xy= 0 contenant la droite de´finiepar (x= 2, y−3z+ 3 = 0). 9 -normrles`alaalescadeusfrauit´’qemieretD´urasrlneegneecafapee´rdnonz−xy= 0 auxpointssitue´ssurlepremieraxe. 10 -1) Montrer que la courbe (Capsnoitauqe´’d)esqurietm´ra 1 x= 1 + 2t+ t 1 y=−1 +t− t 1 z=t+ t est contenue dans un plan (Pnoactre´´eqeauitceplan.siennedeinrmunertd)ete´e 2) Montrer que (Cionquatne´ebrlo.eoDutenyhep)esuqiruteearapte´muaeqontiernne´un carte´siennede(Cadsn)e(ederp`reunP). 1 11 -SoitD=]0,+∞[×]0,+∞runefonction,[´dtereimenf:D→IR, de classeC, telle qu’entoutpointdeparame`tre(x, yplan)leent`tangnioatafrusalauqe´’decz=f(x, y) coupe l’axe 0xen un point d’abscisse 2xet l’axe 0ynunpointee´3e’droodnny.r´Dnemieret alors l’intersection du plan tangent avec l’axe 0z. 12 -SoitSafru’decuqe´oitaalrnscaest´nniee 2 2 2 x+y+z−2xyz−1 = 0 1)D´eterminerlaprojectiondeSsur le planxOy. 2) Quels sont les points singuliers deS? 3) Nature de la section deSuqta’de´lpnaraelpnioz=h? 4)D´eterminerlesdroitestrac´eessurS. 2 2 2 13 -Soit (Hruafec’dl)sanqu´eioatx+y−zlobrdı¨o(1=epyHunee´ovderenoa`ulit nappe). 1)D´eterminerlesintersectionsde(Hnn´ees.ecav)elpsalsnedocrood −→ 2) Montrer que pour toute rotationrd’axe (O, k) on ar(H) =H. 0 3) Montrer que les droites (D) et (D´equ)d’s(itevpscesnertaoiD)x= 1, y=zet 0 (D)x= 1, y=−zsont contenues dans (H). Montrer que toute droite contenue dans −→ 0 (H) est de la former(D) our(Do)u`rest une rotation d’axe (O, k). 4) Montrer que (Hinnoeddsortise)elasteur´r(D)o`ursnmelbdeseoratitonsd´ecritl’e −→ d’axe (O, k).
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14 -Extrait capes 2005. SoientIpnuatniode´r`tiu,nunir´eelnontervalleaanldsuneer´I,fune fonction ∗iθ0 continˆumentd´erivabledeIdans Cetθ0nuequellteer´f(a) =|f(a)|e. Montrer qu’il existe une unique fonctionθedevablcitnomuˆndtneire´Idans IR telle queθ(a) =θ0 iθ(x) etf(x) =|f(x)|epour toutxdansI.
2 15 -SoitSeer´rapaetm´rusaecaflx=rcosθ, y=rsinθ, z=r,(r, θ)∈IR . 1)Quelssontlespointsre´guliersdeSgentntanuplaionduqtaene´enurreimetD´?unen pointr´egulierdeparame`tre(r0, θ0). 2)Donnerune´equationcarte´siennedeS. 3) Montrer queSexaenoˆcnuts´evoederond’lutiOz
2 22 2 16 -SoitStaoie´uqlecs’adruafnz(x+y) =x−y. 1)De´terminerlespointsre´guliersdeSet le plan tangent en ces points. 2) SoitDtior´’dedaluaeqontixsinθ−ycosθ= 0, z2= cosθs.D´imenterelpnalrse contenant la droiteDnattea`stnegSen un point deD.
17 -Montrer que la surfaceS´ed’atqunioz=xyer´ndgenetse)euqilobrepyh(arapolobedı¨ −→−→ parlesdroitesparalle`lesauplan(, kO, i) coupant les droitesx=z= 0 etx= 1, y=z.
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