UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES E Trelat
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Niveau: Supérieur, Bac+5
UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES 2007-2008 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES E. Trelat Semaine 16 - Exercices sur les equations differentielles. 1. On considere le systeme differentiel lineaire { x? = ax + by y? = cx + dy , ou A = ( a b c d ) est une matrice reelle. Representer les differentes allures du portrait de phases au voisinage de (0, 0) selon les valeurs propres de A. (NB : le portrait de phases est la representation des solutions x(t), y(t) dans les coordonnees x, y seulement) 2. Soit A ?Mn(C). (a) Montrer que l'application t ? R 7?? etA = +∞∑ n=1 tn n! An ?Mn(C) est bien definie, et est C∞. (b) Montrer que pour tout t0 ? R et tout X0 ? Cn, le probleme de Cauchy dX/dt = AX, X(t0) = X0 admet une unique solution definie sur R, donnee par la formule X(t) = e(t?t0)AX0. Quelle est la forme generale d'une solution de dX/dt = AX ? (c) Soit B : R ? Cn une application continue. Montrer que le probleme de Cauchy dX/dt = AX + B(t), X(t0) = X0, admet une unique solution X(t) definie sur R, qui est donnee par la formule : X(t) = e(
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UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES 2007-2008 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES E. Trelat Semaine 16 - Exercices sur les equations differentielles. 1. On considere le systeme differentiel lineaire { x? = ax + by y? = cx + dy , ou A = ( a b c d ) est une matrice reelle. Representer les differentes allures du portrait de phases au voisinage de (0, 0) selon les valeurs propres de A. (NB : le portrait de phases est la representation des solutions x(t), y(t) dans les coordonnees x, y seulement) 2. Soit A ?Mn(C). (a) Montrer que l'application t ? R 7?? etA = +∞∑ n=1 tn n! An ?Mn(C) est bien definie, et est C∞. (b) Montrer que pour tout t0 ? R et tout X0 ? Cn, le probleme de Cauchy dX/dt = AX, X(t0) = X0 admet une unique solution definie sur R, donnee par la formule X(t) = e(t?t0)AX0. Quelle est la forme generale d'une solution de dX/dt = AX ? (c) Soit B : R ? Cn une application continue. Montrer que le probleme de Cauchy dX/dt = AX + B(t), X(t0) = X0, admet une unique solution X(t) definie sur R, qui est donnee par la formule : X(t) = e(
- ?n ≤
- differentes allures du portrait de phases au voisinage
- portrait de phase
- probleme de cauchy dx
- matrice carree
- lemme de gronwall discret
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Français
UNIVERSITE D’ORLEANS DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES Semaine16-Exercicessurlese´quationsdiffe´rentielles.
CAPES 2007-2008 E.Tr´elat
1.Onconside`relesyste`mediff´erentiellin´eaire 0 x=ax+by , 0 y=cx+dy o`u a b A= c d estunematricer´eelle.Repre´senterlesdiffe´rentesalluresduportraitdephasesauvoisinagede(0,0) selon les valeurs propres deA. (NB:leportraitdephasesestlarepre´sentationdessolutionsx(t), y(td)naocrolssennodsee´x, y seulement)
2. SoitA∈ Mn(C). +∞ n X t tA n∞ (a) Montrerque l’applicationt∈R→−7e=A∈ Mn(Cenbist)ettesein,e´dfieC. n! n=1 n (b) Montrerque pour toutt0∈Ret toutX0∈ChyucCadel,pee`emorlbdX/dt=AX,X(t0) =X0 (t−t0)A admetuneuniquesolutionde´finiesurRpaeeafrlmuorled,no´nX(t) =e X0. Quelle est la formeg´en´eraled’unesolutiondedX/dt=AX? n (c) SoitB:R→CCedehcuaborpme`lneuyoicnnoitpalpcitarerquelenue.MontdX/dt=A X+ B(t),X(t0) =X0, admet une unique solutionX(tefini)d´esurRodnneitsraale´permfoe:ul,qu Z t (t−t0)A(t−s)A X(t) =e X0+e B(s)ds t0 (Indication :Opnuorraappet.)tsnacanoelndioatrivaladeedohte´malreuqil (d) SoitAcecaatriunemedrellero’de´rre´rendont les valeurs propres (dansC) sont distinctes de n 2ikπ, k∈Z. Soit d’autre partB:R→Rque.nuontintcoppeacalire´pidoieuni-1te 0 Montrerquelesyste`mediffe´rentielX(t) =AX(t) +B(t) admet une et une seule solution 1-p´eriodique. A (Indication :rieeseasastnstffiuslafesou(ormerehCrehcecundionontiecn´e−Id)X0=. . .).
000 0 3.Re´soudrel’´equationdiff´erentiellex(t)−3x(t) + 2x(t) = sint. (indication :ideme`tsysnu’demorsfounsioatqu´e1e.)ordreld’entiff´errtceteetmte
4.Re´soudrelesyste`mediffe´rentiel:
00 x= 2x−3y, 00 y=x−2y.
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5. (a)Soitfune application continue deRdansRadmettant une limite finie en +∞. Donner les solutions surRlleuqe´’ledationdiff´erentie 0 x(t) +x(t) =f(t). Montrer que toute solution admet une limite finie en +∞. 1 + (b) Soitfune fonction de classeCsurR, monotone et ayant une limite finie en +∞. Donner les + solutions surRiffndre´equ´eioat’ledellient 00 x(t) +x(t) =f(t). + Montrerquetoutesolutionestborne´esurR. Etablir qu’il existe une unique solution ayant une limite finie en +∞.
6.srionnotnesededoMe´.ht 01 Soit (E) :x(t) =f(t, x(tqeaunu´e))tielerendiff´tiono,elu`f:R×R→Rest de classeC. On dit queα(resp.β) est uneereinf´eriebuarreri`(resp. uneus´preeiraire`erbeur), si c’est une fonction 10 0 de classeCtelle que pour toutt∈Ron aitα(t)< f(t, α(t)) (resp.β(t)> f(t, β(t))). On appelle entonnoirl’ensemble E={(t, y)∈R×R/ α(t)< y < β(t)}. On veut montrer que sit7→x(t) est une solution de (E) sur un intervalleJ⊂Rtelle quex(t0) =x0 avec (t0, x0)∈ E, alors (t, x(t))∈ Epour toutt≥t0, t∈J. (a) Raisonnerpar l’absurde, et posert1= inf{t≥t0/(t, x(t))/}∈ E.Montrer quex(t1) =α(t1) ou β(t1). (b) Conclure. 7.er:r´PimelaiinLemme de Gronwall discret Soita >0 et soient (θn)0≤n≤Net (αn)0≤n≤Nuxdeseedustierrsonbmspos´eelsv´eitiftionrelantlarifia θn+1≤a θn+αn, n= 0, . . . , N−1.(1) 1)Montrerparre´currencesurnque n−1 X n n−(i+1) θn≤a θ0+a αi, n= 1, . . . , N.(2) i=0 x 2) On suppose quea= 1 +Lh, avec>L, h0. Montrer que 1+x≤epour toutx≥aeledirude´D.0 relation (2) : n−1 X nLh n−(i+1)Lh θn≤e θ0+e αi, n= 1, . . . , N.(3) i=0 3) On poseT=N h, et on supposeαi=αpour touti. Montrer, en utilisant (3), que LT α e−1 LT max{θn,0≤n≤N} ≤e θ0+. h L
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Onconside`remaintenantleprobl`emediffe´rentielsuivant: 00 (1)X(t) =f(t, X(t)), t∈[t0, t0+T], x(t0) =X , 0d1d d o`uX∈Rppusqesoeutdesn´onOne.f∈C([t0, t0+T]×R,Rvte´irefialocdnti)evauinsioe:nt d (Lexiste) IlL >0 tel quekdZf(t, Z)k ≤L ,∀Z∈R,∀t∈[t0, t0+T]. Onconside`reunesubdivisionuniformea`Npoints (donc de pas+ 1h=T /N) de l’intervalle [t0, t0+T], d eta`partird’unedonne´einitialeX0∈Ron construit une suite finie (Xn,0≤n≤Naemh´elcsp)ra d’Euler. 1) SoitXune solution de (1) sur [t0, t0+T]. On note 00 M2= max{kX(t)k;t∈[t0, t0+T]}. 1.1) Pour tout 0≤n≤N−1, on pose n=X(tn+1)−X(tn)−hf(tn, X(tn)). Montrer que M2 2 knk ≤h ,∀0≤n≤N−1. 2 1.2) On noteen=X(tn)−Xnl’erreur au tempstn=t0+nh. Etablir que ken+1k ≤(1 +hL)kenk+knk ∀0≤n≤N−1. 0 1.3)End´eduireunemajorationdekenken fonction dekX−X0k, n, het deM2. h d 2)Onconsid`erelafonctionX: [t0, t0+T]→Rnfie´apeiraffineparmorceauxdoctnnieute t−tn h h X(t0) =X0, X(t) =Xn+ (Xn+1−Xn) sit∈[tn, tn+1]. h 2.1) Montrer qu’il existe une constanteK >tede´nedp0eindanhtelle quekXnk ≤Kpour tout 0≤n≤N. h Montrer quekX(t)k ≤Kpour toutt∈[t0, t0+T]. On note ∂f 0 L= max{ k(t, Z)k;t0≤t≤t0+T ,kZk ≤K}∙ ∂t 2.2) Montrer qu’il existe une constanteK1>i,dne´epdnnaeted0h, telle qu’on ait h0h k(X) (t)−f(t, X(t))k ≤K1h,∀t∈[t0, t0+T]\ {t0, . . . , tN}. 2.3)End´eduirequ’ilexisteuneconstanteK2>edeependant,0´dnih, telle que h L(t−t0) 0 kX(t)−X(t)k ≤ekX−X0k+K2h ,∀t∈[t0, t0+T]. Indication:utiliserlelemmedeGronwall(versionint´egrale)surchaqueintervalle[tn, tn+h], et la question 1.3).
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