UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES
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Niveau: Supérieur, Bac+5
UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES 2007-2008 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SEMAINE 16 INTEGRALES GENERALISEES (II) 1 - Nature de l'integrale generalisee ∫ 1 0 sin( 1 t ) dt. 2 - Soit f une fonction continue de IR dans lui-meme admettant des limites l et m en ?∞ et +∞ respectivement. Montrer que ∫ +∞ ?∞ (f(x + 1)? f(x))dx = m? l. 3 - Montrer que l'integrale generalisee ∫ +∞ 0 sin t t dt est semi-convergente. Montrer qu'elle n'est pas absolument convergente en etudiant la serie de terme general un = ∫ (n+1)pi npi | sin t t |dt. Etudier la convergence de l'integrale ∫ +∞ 0 sin t2dt. Est-elle absolument convergente ? 4 - Soit f : x 7? sin x√ x + sin 2 x x . Montrer que f(x) ? x?+∞ sin x√ x , et que l'integrale ∫ +∞ 1 sin x√ x dx converge bien que ∫ +∞ 1 f(x) dx soit divergente. 5 - Soit f : [a,+∞[? IR une fonction continue telle que l'integrale generalisee ∫ +∞ a f(x) dx converge.
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UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES 2007-2008 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SEMAINE 16 INTEGRALES GENERALISEES (II) 1 - Nature de l'integrale generalisee ∫ 1 0 sin( 1 t ) dt. 2 - Soit f une fonction continue de IR dans lui-meme admettant des limites l et m en ?∞ et +∞ respectivement. Montrer que ∫ +∞ ?∞ (f(x + 1)? f(x))dx = m? l. 3 - Montrer que l'integrale generalisee ∫ +∞ 0 sin t t dt est semi-convergente. Montrer qu'elle n'est pas absolument convergente en etudiant la serie de terme general un = ∫ (n+1)pi npi | sin t t |dt. Etudier la convergence de l'integrale ∫ +∞ 0 sin t2dt. Est-elle absolument convergente ? 4 - Soit f : x 7? sin x√ x + sin 2 x x . Montrer que f(x) ? x?+∞ sin x√ x , et que l'integrale ∫ +∞ 1 sin x√ x dx converge bien que ∫ +∞ 1 f(x) dx soit divergente. 5 - Soit f : [a,+∞[? IR une fonction continue telle que l'integrale generalisee ∫ +∞ a f(x) dx converge.
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- e?x sin
- sin
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´ ´ UNIVERSITE D’ORLEANS ´ ´ DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
´ ´´ ´ INTEGRALES GENERALISEES (II)
R 1 1 1 -e´eis´nrelasin()eduratNe´tni’lee´gelargdt. 0t
CAPES 2007-2008 SEMAINE 16
2 -Soitfedlsattnmdtemeaeuesimitocnonitnofenitcnlunsmˆi-deuedaIRletmen−∞ R +∞ et +∞respectivement. Montrerque (f(x+ 1)−f(x))dx=m−l. −∞ R +∞ sint 3 -oMertneuqre´aril´seel’int´egraleg´endtMontrer qu’elleest semi-convergente. 0t R (n+1)π sint n’estpasabsolumentconvergenteene´tudiantlas´eriedetermeg´ene´ralun=| |dt. nπ t R +∞ 2 ´ Etudierlaconvergencedel’inte´gralesint dt. Est-elle absolument convergente ? 0 2R +∞ sinxsinxsinxsinx √ √√ 4 -Soitf:x7→+ .Montrer quef(x)∼uel’int´egraleqte,dx x xx1x x→+∞ R +∞ converge bien quef(x)dxsoit divergente. 1 R +∞ 5 -Soitf: [a,+∞[→’leuqelleteunitn´eeng´leraegt´inaril´seeonconctinefoIRuf(x)dx a converge. Montrerque sifadmet une limitelen +∞, alorsl= 0. Donnerdesexempleso`ul’inte´graleg´en´eralise´econvergesansquefn’admette de limite en +∞. 6 -Soitf: [0,+∞[→IR+esie´relae´´negalgr´ent’ielquelletetnassiorcecnitnooctnnieu´dunefo R +∞ f(x)dxconverge. 0 a) Montrer quelimxf(x) = 0. x→+∞ b) Montrer queg:x7→x(f(x)−f(x)c)oanuvneergient´egra+l1etnseru0[,+∞[ et R +∞ calculerg(x)dx. 0 ´ 7 -nt´edesiencevergserglalreinocadutE Z ZZ +∞+∞+∞ cost√sint sint t √dt ,(e−1)dt ,ln(1 +√)dt 0t+ cost0 1t Z Z√ +∞+∞ sinx xcosx dx ,sindx. cosx+xlnx x+ sinx 2 1 1
8 -Soitf: [0,+∞[→elleleuqitnoteunegaln´´ent’igr´eerelasie´IRunctinefofirononunect´mme R +∞ f(x)dxqueconverge. Montrerftend vers 0 en +∞. 0 9 -Soitfetgdes fonctions sur [0,+∞[ telles que R x •fest continue et la fonctionx7→f(t)dtortbes0r[sueen´,+∞[, 0 1 •gestC´d,dnevsre0+necroissante,ette∞. R +∞ Montrerquel’int´egralef(t)g(t)dtest convergente. 0 R +∞ 10 -Soitf: [1,+∞[→IR continue telle quef(t)dtveoncleint´egraerqreu’lgr.eoMtn 1 R +∞f(t) dtconverge. 1t R +∞ −at 11 -Soitf: [0,+∞[→IR continue telle quef(t)e dtge(onveroc`ua∈IR), montrer 0 R +∞ −xt que pour toutx > aell’,t´inraegf(t)e dtconverge. 0 12 -a)Nauteredistne´rglaee´silare´ne´gses Z +∞n sinxcosx dxou`α >0, n∈IN. α x 1 b)D´eterminerlanaturedel’inte´grale(´eventuellementselonlesvaleursdeα >0) : Z +∞ sinx dx . α x+ cosx 0
13 -Soienta, b´reesl0dse< a < b, etfur[0less´eelursra`euelavocnonitnfonetincu,+∞[ R +∞f(t) tellequel’inte´gralege´n´eralise´edtconverge. 1t R R +∞f(bt)−f(at)ax f(t) 1) Montrer quepourx >0, dt=dt. x tbx t R +∞f(bt)−f(at) 2)Ende´duirel’existencedel’int´egraledtApplication au caset la calculer. 0t o`ufest la fonction exponentielle.
14 -leraegt´ine-ri´e.raiaossnoCpm Soitf: IR+→IR+nuitivnposctioefonet.ssnarciodee´ R +∞ a)Montrerquelase´riedetermeg´en´eralf(nee´e)lti’tne´graleg´en´eralisf(t)dtsont de 0 mˆemenature. R n b) Montrer que la suite (xn)d´eparefinixn=Sn−f(t)dtc`ougr(enoevSnest la somme 0 R n partielledelase´riedetermeg´en´eralf(nsee´irdeteisecttna)),eriv,ogeSn∼f(t)dt. 0 n→+∞ 15 -pAtnede´ce,’exeedelepr´rciceulrlpqihtdomae´ 1 •laerditugeernvcoe´ruopermeg´en´eralcndelesae´irdeteun= etchercher un n e´quivalentdelasommepartielle, •´edn(tdelalenviuqe´nurenimretn!) quandntend vers +∞, 2 2 •dunerqu´ete´einrmnl(e+)2lavidtne∙ ∙ ∙+ (lnn) . 2
16 -Soientfetgdes fonctions positives continues sur [a, b[ telles quef(x)∼g(x). Montrer x→b R R b b quelesinte´gralesf(t)dtetg(t)dttureenetaˆmmetnedos a a R R b b a) si elles convergent,f(t)dt∼g(t)dt, x x x→b R R x x b) si elles divergent,f(t)dt∼g(t)dt. a a x→b R2 +∞ −t 17 -leuqrertrge´tni’aleonMe dtarveeelgqoecivunuctr´enhtcnreeehdempelsetntsi 0 R2 +∞ −t e dtquandx→+∞. x R2R x x t dt D´eterminerune´quivalentsimpledee dtet quandxtend vers +∞. 0 2lnt Z Z +∞+∞ 1 −xsinx ´ 18 -desituregralnt´ese:erdinalatuEe dxdx ,. 2 3 0(1 +xsinx)0 19 -Soitf: [0,+∞[→IR+unefonctinoopisitevoctnnid´ueroecsaise.nttnoMqrereleus R R +∞+∞ 2 inte´gralesf(x) sinx dxetf(x)dx.tureemanmeeˆnodts 0 0 20 -Soientfetgdes fonctions continues IR→IRon.Mes´eis´en´eralegralesgliseni´trtreuqse R RR +∞+∞+∞ 2 2 (f(t))dtet (g(t))dtraeglea,oltnseni´tsr’lsontergeconvf(t)g(t)dtest −∞ −∞−∞ convergente et on a q q R RR +∞+∞+∞ 2 2 f(t)g(t)dt≤(f(t))dt(g(t))dt. −∞ −∞−∞ R +∞ 1 21 -Soitf: IR→tinconuClofenCllteueeq´tge’lniarel|f(x)|dxconverge. Montrer −∞ que: Z +∞ iξx lime f(x)dx= 0 . ξ→+∞ −∞
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