Universite Claude Bernard Lyon Licence Calcul Differentiel
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Niveau: Supérieur
Universite Claude Bernard Lyon 1 Licence 3 Calcul Differentiel Controle partiel Lundi 3 novembre 2008 - Duree 3 heures Les documents et les calculettes sont interdits. Les exercices sont indepen- dants les uns des autres. Il sera tenu compte de la qualite de la redaction pour l'attribution d'une note. Question de cours – (2 pts) Donner la definition de la differentiabilite d'une application en un point. Exercice du cours – (2 pts) Soit Y un ferme d'un espace vectoriel norme complet F et ? : Y ?? Y une application k-contractante avec k < 1. Soit x0 ? Y . On definit une suite (xn)n?N par la relation xn = ?(xn?1). Montrer que pour tout n ? N et p ? N? on a ?xn+p ? xn?F ≤ kn 1? k ?x1 ? x0?F et en deduire que ? admet un point fixe. Exercice 1 – (3 pts) Soit f : Rn ?? Rn une application C1 verifiant pour tout x ? Rn et tout h ? Rn l'inegalite ?dfx(h), h? ≥ ?h?2 . 1. Montrer que pour tout a ? Rn et b ? Rn, on a ?f(b)? f(a), b? a? ≥ ?b? a?2 . On pourra pour cela utiliser l'application ? : t 7? ?f(a + t(b? a)), b? a? .
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Universite Claude Bernard Lyon 1 Licence 3 Calcul Differentiel Controle partiel Lundi 3 novembre 2008 - Duree 3 heures Les documents et les calculettes sont interdits. Les exercices sont indepen- dants les uns des autres. Il sera tenu compte de la qualite de la redaction pour l'attribution d'une note. Question de cours – (2 pts) Donner la definition de la differentiabilite d'une application en un point. Exercice du cours – (2 pts) Soit Y un ferme d'un espace vectoriel norme complet F et ? : Y ?? Y une application k-contractante avec k < 1. Soit x0 ? Y . On definit une suite (xn)n?N par la relation xn = ?(xn?1). Montrer que pour tout n ? N et p ? N? on a ?xn+p ? xn?F ≤ kn 1? k ?x1 ? x0?F et en deduire que ? admet un point fixe. Exercice 1 – (3 pts) Soit f : Rn ?? Rn une application C1 verifiant pour tout x ? Rn et tout h ? Rn l'inegalite ?dfx(h), h? ≥ ?h?2 . 1. Montrer que pour tout a ? Rn et b ? Rn, on a ?f(b)? f(a), b? a? ≥ ?b? a?2 . On pourra pour cela utiliser l'application ? : t 7? ?f(a + t(b? a)), b? a? .
- application c1
- formule de taylor-lagrange
- xy ∂2f
- u2 ?
- courbe de r2
- equation des tangentes au point double
- ∂2f ∂y2
Universit´eClaudeBernardLyon1 Licence3CalculDiff´erentiel Controˆlepartiel Lundi3novembre2008Dure´e3heures
Lesdocumentsetlescalculettessontinterdits.Lesexercicessontinde´pen dantslesunsdesautres.Ilseratenucomptedelaqualit´edelare´daction pour l’attribution d’une note.
Question de cours –p2(D)stennoet´daffie´ertnaiibilrlad´efinitiondel d’une application en un point.
Exercice du cours –(2 pts) SoitYelniem´orevecrotcnu’dapsemre´nuef completFet Φ :Y−→Yune applicationkcontractante aveck <1. Soit x0∈Ytuniefid´On.ti(eenusxn)n∈Npar la relationxn= Φ(xn−1). ∗ Montrer que pour toutn∈Netp∈Non a n k kxn+p−xnk ≤kx1−x0k F F 1−k etend´eduirequeΦadmetunpointfixe.
n n1 Exercice 1 –(3 pts) Soitf:R−→Rune applicationCfiina´vrertpou n n toutx∈Ret touth∈Rlage´ni’l´eit 2 hdfx(h), hi ≥ khk. n n 1. Montrerque pour touta∈Retb∈R, on a 2 hf(b)−f(a), b−ai ≥ kb−ak. On pourra pour cela utiliser l’applicationϕ:t7→ hf(a+t(b−a)), b−ai. 2. Montrerquefest injective. n n 3. Montrerquefsiemlgbolaedestundiff´eomorphRdansf(R).
Exercice 2 –teivannouscnitalofe`eridnscoOns)pt(3fiepo´efinrudy6= 0 par : x f(x, y) = sin(π). y 1.Donnerladiffe´rentielledefau point (1,´eeauvec1)appliquetru(h, k).
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