Universite Claude Bernard Lyon et Ecole Normale Superieure de Lyon Annee Unite d'enseignement algebre approfondie Corrige de l'examen partiel du novembre Enseignant responsable Bertrand REMY
4
pages
Français
Documents
2006
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
4
pages
Français
Documents
2006
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus
Niveau: Supérieur
Universite Claude Bernard – Lyon 1 et Ecole Normale Superieure de Lyon Annee 2006/2007 Unite d'enseignement : algebre approfondie Corrige de l'examen partiel du 20 novembre 2006 Enseignant responsable : Bertrand REMY Exercice A. 1) Soit x?K non rationnel. Le polynome minimal µx de x sur Q est de degre 2 et on a K = Q[ √ ∆] ou ∆ est le discriminant de µx. On multiplie d'abord ∆ par le carre de son denominateur pour obtenir ∆˜ ? Z tel que Q[ √ ∆] = Q[ √ ∆˜]. Ensuite on ecrit ∆˜ = m2d˜ ou = ±1, m ?N et d˜ ? N n'est divisible par aucun carre de nombre premier : il suffit de prendre pour d˜ le produit des p?p , ou p parcourt les facteurs premiers de ∆˜ et ?p est le reste modulo 2 de la valuation en p de ∆˜. Finalement, on peut ecrire K = Q[ √ d] avec d = d˜, et cela convient. 2) Soit A un anneau factoriel. Par definition, A est integre donc possede un corps des fractions, disons K. Soit x?L entier sur A. Au titre d'element de K, il s'ecrit x = ab avec a et b dans A et premiers entre eux. Soit xn + an?1xn?1 + . . . + a1x + a0 = 0 une relation de dependance integrale ; par definition, chaque coefficient ai est dans A.
Voir
Universite Claude Bernard – Lyon 1 et Ecole Normale Superieure de Lyon Annee 2006/2007 Unite d'enseignement : algebre approfondie Corrige de l'examen partiel du 20 novembre 2006 Enseignant responsable : Bertrand REMY Exercice A. 1) Soit x?K non rationnel. Le polynome minimal µx de x sur Q est de degre 2 et on a K = Q[ √ ∆] ou ∆ est le discriminant de µx. On multiplie d'abord ∆ par le carre de son denominateur pour obtenir ∆˜ ? Z tel que Q[ √ ∆] = Q[ √ ∆˜]. Ensuite on ecrit ∆˜ = m2d˜ ou = ±1, m ?N et d˜ ? N n'est divisible par aucun carre de nombre premier : il suffit de prendre pour d˜ le produit des p?p , ou p parcourt les facteurs premiers de ∆˜ et ?p est le reste modulo 2 de la valuation en p de ∆˜. Finalement, on peut ecrire K = Q[ √ d] avec d = d˜, et cela convient. 2) Soit A un anneau factoriel. Par definition, A est integre donc possede un corps des fractions, disons K. Soit x?L entier sur A. Au titre d'element de K, il s'ecrit x = ab avec a et b dans A et premiers entre eux. Soit xn + an?1xn?1 + . . . + a1x + a0 = 0 une relation de dependance integrale ; par definition, chaque coefficient ai est dans A.
- relation de dependance integrale de pi
- racine du polynome
- coefficients entiers des polynomes binomiaux
- minimalite du degre
- degre i?
- anneau noetherien
- vertu de l'isomorphisme d'anneaux a0
