Une correction de l'examen de topologie de session automne

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Une correction de l'examen de topologie de session 2 (automne 2008/2009) Questions courtes 3 pts 1. Soient X et Y deux espaces topologiques et x0 ? X. Etant donnee une application f : X ? Y , rappeler la definition de la continuite de f en x0. On dit que f est continue en x0 si pour tout voisinage V de f(x0) il existe un voisinage U de x0 tel que f(U) ? V . 2. (a) Soient X et Y deux espaces topologiques. On suppose Y separe. Soit A une partie dense de X (i.e. A¯ = X). Soient f et g deux applications continues de X vers Y qui coıncident sur A. Montrer que f = g. On va raisonner par l'absure. Supposons f 6= g. Ainsi, soit x0 ? X tel que f(x0) 6= g(x0). Alors, Y etant separe, il existe V et V ? des voisinages ouverts respectifs de f(x0) et g(x0) qui sont disjoints (i.e. V ? V ? est vide). Par continuite de f et g, il existe des voisinages U et U ? de x0 tels que f(U) ? V et g(U ?) ? V ?. Notons U ?? = U ?U ?.

correction de l'examen de topologie de session

voisinage de x0

espaces topologiques

topologie

serie

x0 ?

?uk?

?x0 ?

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Une correction de l’examen de topologie de session 2 (automne 2008/2009)

Questions courtes

3 pts

´ 1. SoientXetYdeux espaces topologiques etx0∈XeenuentaEdt.no´n applicationf:X→Ydee,raﬁe´ditinleppalreinntt´uideoncolafen x0.

On dit quefest continue enx0si pour tout voisinageVdef(x0) il existe un voisinageUdex0tel quef(U)⊂V. 2. (a) SoientXetYdeux espaces topologiques. On supposeYrape´s.e´ ¯ SoitAune partie dense deX(i.e.A=X). Soientfetgdeux applications continues deXversYidentsuriuocı¨cnqA. Montrer quef=g.

On va raisonner par l’absure. Supposonsf6=g. Ainsi, soitx0∈ Xtel quef(x0)6=g(x0). Alors,Yile,r´pateisex´ste´tenaVet ′ Vdes voisinages ouverts respectifs def(x0) etg(x0) qui sont ′ disjoints (i.e.V∩Vvtse)edi´tdeniiuoctnP.raefetg, il existe ′ ′ ′ des voisinagesUetUdex0tels quef(U)⊂Vetg(U)⊂V. ′′ ′ NotonsU=U∩U. Il s’agit d’un voisinage dex0sienedet´ad.L ′′ AdansXentraine queU∩An’est pas vide (cf. question 3). Soit doncadans cette intersection. Puisquea∈A, on af(a) =g(a). ′ ′ Maisa∈Udoncf(a)∈Veta∈Udoncg(a)∈V. Ayant ′ f(a) =g(a) etV∩V=∅ceci est absurde. (b)Montrer,viaunexemple,quel’assertionpre´c´edentepeuteˆtre fausse si on ne suppose pasYr´e.s´epa

SoitX=Y={a, b}uensnmeelx´me´ee`bleuades.stnopnO A={a}et on munitXetYdelantieSoe.erss`igeoroligotop f, g:X→Yrapsee´nnodf(a) =g(a) =aetf(b) =b,g(b) =a. −1−1 Les seuls ouvert deYsont∅etY. On af(∅) =∅etf(Y) =X etdemeˆmepourgdoncfetgsont continues. D’autre part, le ¯ pluspetit(etleseul)ferme´contenantAestXdoncA=X. Enﬁn, on voit quefetgocı¨cnurtsenidA.selage´saptnoessnaim On remarque qu’en eﬀetYperasa´ssept’n.e´

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