Traitement du signal pour le mécanicien 2007 Ingénierie et Management de Process Université de Technologie de Belfort Montbéliard
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2008
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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Traitement du signal pour le mécanicien 2007. Retrouvez le corrigé Traitement du signal pour le mécanicien 2007 sur Bankexam.fr.
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Final SY53 Pr 2007
NOM : Note : TRAITEMENT DU SIGNAL/21 Dure : 1H50. Calculatrice non autorise car inutile. Aucun document personnel nest autoris. Le sujet contient un formulaire en annexe.Pour chaque rponse, on expliquera la dmarche qui conduit au rsultat propos. Les expressions mathmatiques seront exprimes littralement avant dtre ventuellement calcules de faon numrique. EXERCICE 1 5 Considrons un signal f(t) ayant pour densit spectrale d’nergie la fonction S( )suivante : ff Sf f( ) A A/4 −3ν −2ν−ν02030 0 0 0 1)Dterminer Ef, l’nergie totale du signal f. Ce signal f est appliqu l’entre d’un filtre passe-bande idal de gain 2 et de bande passante centre sur 0 +2νet−2ν. 0 0 2)Dterminer la fonction de transfert harmoniqueH( )de ce filtre idal.
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3)Dterminer la densit spectrale d’nergieSYY( ) du signal y(t) la sortie du filtre. Reprsenter graphiquementSYY( )Dterminer Eyl’nergie totale du signal y(t). EXERCICE 2 3,5 (Exercice extrait partiellement des annales) Un groupe d’tudiants ralise au laboratoire une exprience mettant en œuvre un haut-parleur (HP suppos parfait) excit par un bruit blanc (notb(t)) et deux microphones M1M et 2l’on supposera parfaits que fournissant les signaux e1(t)e et 2(t). L’ensemble est dispos selon le schma suivant: e2(t)e1(t)M HP x d •La clrit du son dans le milieu de propagation de l’exprience sera note C. •On supposera que le milieu de propagation ne dforme pas les sons. •Le bruit blanc b(t)a une DSP constante: S()=A . bb
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1)Dterminer la fonction d’autocorrlationC(τ) du bb bruit blanc b(t). Interprter la rponse. 2)eDterminer les signaux 1(t) et e2(t) (on appellera 1et2les coefficients d’attnuation en M1et M2). 3)Calculer l’intercorrlation C(τ) entre les signaux e e 1 2 e1(t)ete2(t). Reprsenter graphiquement l’allure de C(τ). e e 1 2 Ce e(τ)1 2 τ
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3 EXERCICE 3 Considrons le signal s(t)=f(t)⋅g(t)constitu du signal sinusodal f : t→f(t)=A cos(2πν0t) que l’on observe t0 travers une fentre triangulaireg : t→g(t)=tri . 3 1)Reprsenter graphiquement s(t). 2)Dterminer S( ), la transforme de Fourier de s(t). Reprsenter graphiquement S( )
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EXERCICE 4 4 Considrons le signal f(t) suivant :
Un zoom fait apparatre les dtails suivants :
Sa densit spectrale de puissance est :
On souhaite chantillonner ce signal.
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1)En tenant compte des particularits de ce signal, proposer deux mthodes qui permettent de dterminer les paramtres d’chantillonnage. Expliquer ces deux mthodes sans effectuer les calculs. 2)Dvelopper la mthode de votre choix pour dterminer les paramtres d’chantillonnage.
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Questions de Cours : 5,5 1)Est-il possible d’chantillonner un signal sans perte d’information en ne respectant pas le thorme de Shannon (Expliquez et justifiez) 2)Quels liens y a-t-il entre l’chantillonnage idal et la modulation d’amplitude ? (expliquer et argumenter) 3)Soit fA(x) un signal priodique de priode A reprsentant une force en Newton en fonction d’une distance en mtre : Quelles proprits remarquables a la fonction d’autocorrlation C(τ)? fAfA Quelle est l’unit deτ? Quelle est l’unit de Cf(τ)? AfA Que reprsente C(0)? fAfA
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FORMULAIRE +∞ Convolution :f∗g : t→(f∗g)(t)=f(a)g(t−a) da−∞ +∞ * Energie totale :E=(t)tdff)t( − ∞ * Energie d’interaction sur l’intervalle T :Exy(T)=(txt)dy)t( T Puissance moyenne d’un signal priodique : +∞ 12 2 Pmoy=f(t)dt= αnT Tn= −∞ Signaux alatoires : 1 + ∞ Moyenne :moy=E(xi)=Lim xi(t)dt=xp(x)dx T→ +∞T− ∞ T 212 2 + ∞ Puissance :P=(E)x=Lim(x (t))dt=x p(x)dx i i T→ +∞T− ∞ T S2N−3 Rapport signal/bruit de quantification : =12.2 et B max S =6,02.N+1,76 dBBmax dB Dcomposition en srie de Fourier : +∞ a 2Πnt 2Πnt 0 f(t)= +a cos +b sin n n 2n=1T T T T + + 222Πnt222Πnt et avecan=Tf(t)cosdt bn=Tf(t)sin dt −− T2T T2T 2Π +∞ntT2ΠntT 1212 j+−j+ TT cα = α =ouf(t)=αeaven−Tf(t)e dtet0−Tf(t)dt n = −∞T T 2 2 n Transformation de Fourier : +∞ +∞ j2Πνt −j2Π νt x(t)=X(ν)e dν X(ν)=td)e(txet − ∞−∞ Quelques proprits de la transforme de Fourier. TF1 f(at)→F a a TF f(−t)→F(− ν) ∗TF∗ f(t)→F(− ν) TF−j2Πaν f(t−a)→Fe(ν) j2Πat TF ef(t)→F(ν −a)TF f×g→F∗GTF f∗g→F×GTF f′(t)→j2ΠνF(ν)(n) TF n f(t)→(j2Πν()Fν)
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TF TF f(t)→F(ν)→f(−t)+∞ +∞ 2 2 f(t) dt=F(ν) dν− ∞− ∞ +∞ n F(ν)δ= α − ν Transforme des signaux priodiques :n T n= −∞ Autres proprits :f(t)F( )relle Re(F) est paire Im(F) est impaire relle et paire relle et paire relle et impaire imaginaire et impaire Quelques Transformes de Fourier. Fourier 1→ δ(ν)Fourier δ(t)→1 Fourier rect(t)→sinc(ν)Fourier 2 tri(t)→sinc(ν)Fourier sinc(t)→rect(ν)2 Fourier sinc(t)→tri(ν)Fourierj sgn(t)→ − πν Fourier1 j ech(t)→ δ(ν)− 2 2πν −t e pour t≥0rier1 Fou ie1(t)=→0 pour t<0 1+j2πν −t Fourier2 ie2(t)=e→2 1+(2πν) 2 2 −πt Fourier−πν ig(t)=e→eFourier1 cos(2πft)→(δ(ν −f)+ δ(ν +f))2 Signaux nergie finie : 2 * DSE :S(ν)=F(ν): DSEI S(ν)=F(ν)G(ν)ff fg Signaux nergie non finie : 1 2 DSP :Sff(ν)=LimFT(ν)T→ +∞ T +∞ 2n pour les fonctions priodiquesSff(ν)= αnδν − n= −∞T 1* DSPI :Sfg(ν)=LimFT(ν)GT(ν)dν T→ +∞ T
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Autocorrlation et intercorrlation des fonctions nergie finie +∞+∞ ∗∗ C(τ)=x(t)⋅x(t− τ)dtetC(τ)=x(t)⋅y(t− τ)dt −∞− ∞ xxxy Autocorrlation et intercorrlation des fonctions nergie non finie T T + + 1∗1∗ 2 2 Cxx(τ)=limTx(t)⋅x(t− τ)dtetCxy(τ)=LimTx(t)⋅y(t− τ)dt T T T−→ +∞ T→ +∞ − 2 2 Pour les fonctions priodiques : T T 12∗12∗ + + Cxx(τ)=Tx(t)⋅x(t− τ)dtetCxy(τ)=Tx(t)⋅y(t− τ)dt −− T2T2 Autocorrlation et intercorrlation des fonctions alatoires T ∗1∗ + 2 C(τ)=E[x(t)x(t− τ)]=lim x(t)⋅x(t− τ)dt xx T T−→ +∞ T2 T +∗1∗ 2 etCxy(τ)=E[x(t)y(t− τ)]=LimTx(t)⋅y(t− τ)dt T−→ +∞ T 2 Formules dEuler. 1jx−jx1jx−jx + et= −cos(x)=(e e)sin(x)e e () 2 2j Formules de trigonomtrie. cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b) cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) sin(a−b)=sin(a)cos(b)−sin(b)cos(a) 1 cos(a)cos(b)=[cos(a+b)+cos(a−b)] 2 1 sin(a)sin(b)=[cos(a−b)−cos(a+b)]2 1 sin(a)cos(b)=[sin(a+b)+sin(a−b)] 2 ∀t≠0δ(t)=0 δ(0)= +∞ Dirac+∞ δ(t)dt=1 −∞ 1 δ(at)= δ(t) a f(t)(t−t )=ftt()(−t )0 0 0
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