Traitement du signal pour le mécanicien 2006 Ingénierie et Management de Process Université de Technologie de Belfort Montbéliard
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2008
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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Traitement du signal pour le mécanicien 2006. Retrouvez le corrigé Traitement du signal pour le mécanicien 2006 sur Bankexam.fr.
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NOM : Note : TRAITEMENT DU SIGNAL20,5/20 Dure : 1H50. Calculatrice non autorise car inutile. Aucun document personnel nest autoris. Le sujet contient un formulaire en annexe.Pour chaque rponse, on expliquera la dmarche qui conduit au rsultat propos. Les expressions mathmatiques seront exprimes littralement avant dtre ventuellement calcules de faon numrique. EXERCICE 1 5,5 Considrons un capteur de profil dont le principe physique mesure la distance moyenne qui spare sa fentre de mesure de la pice dont on veut obtenir le profil. f(x)f(x) reprsente la distance entre la pice et le capteur. Pice g(x0) est le signal fourni par le capteur lorsqu’il est positionn en x xx0. g(x0) reprsente alors la distance moyenne entre la pice et 0 la fentre de mesure de largeur 2A g(x0 du capteur. 2A 1)Exprimer la fonction g(x0). 2)Montrer que g(x0) peut s’crire comme le produit de convolution de la fonction f(x) avec une fonction h(x) que l’on dterminera.
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3)Dduire de la question prcdente que g peut tre considr comme la rponse d’un filtre au signal d’excitation f. Dterminer alors la fonction de transfert harmonique T( )de ce filtre. Reprsenter graphiquement le module de T( ). Y-a-t-il des frquences spatiales pour lesquelles la fonction de transfert est nulle ? Expliquez l’impact que cela peut avoir sur la mesure du profil de la pice.
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EXERCICE 2 3 (Exercice extrait du polycopi de cours SY53) Considrons le si nal analogique priodique suivant: x(t)1 61 5 1 15 (ms) On dsire chantillonner ce signal afin de le traiter numriquement. La frquence d’chantillonnage a t fixe empiriquement de faon obtenir au moins 10 chantillons dans la partie la plus raide du signal. 1)Quelle est, dans ces conditions, la frquence minimale d’chantillonnage ? Dans la pratique le concepteur de la carte a retenu la frquence d’chantillonnage def=Le CAN25 KHz . e convertisseur chantillonneur analogique numrique a t prcd d’un filtre. 2)Quel est le rle du filtre ? Quel doit tre sa nature (Passe BAS, Passe Haut, Passe Bande, etc...) ? Si on suppose que ce filtre est parfait, comment doit-on choisir sa frquence de coupure ?
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EXERCICE 3 4,5 Considrons un bruit blanc gaussien de densit spectrale de puissance A. 1)Dterminer sa fonction d’autocorrlationC(τ)bb Ce bruit blanc est ensuite filtr par un filtre dont le module carr de la fonction de transfert H( )l’allure a suivante : 2 H( ) Bν-ν0ν00 5 2)CDterminer alors la fonction d’autocorrlation yy(τ)du signal y(t) en sortie du filtre. Reprsenter graphiquement C(τ). yy
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EXERCICE 43 Sur une machine nous avons relev le signal suivant : Figure 1
Une analyse suivant :
spectrale
d’amplitude
fournit
Aprs quelques moyennes, le spectre devient :
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le
spectre
Figure 2
Figure 3
Commenter qualitativement le spectre de la figure 2.
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2)Commenter qualitativement le spectre de la figure 3 Pourquoi le fond de spectre (sans les 3 raies) est-il quasiment constant ? 3)Commenter qualitativement et quantitativement les trois raies spectrales visibles sur la figure 3. (Le spectre est un spectre unilatral d’amplitude crte). Questions de Cours : 4,5 1)On dsire dtecter la prsence d’un signal priodique de priode inconnue, noy dans un trs important bruit blanc gaussien. Quelles mthodes simples proposez-vous ? Proposer deux mthodes. (Expliquez et justifiez) Mthode 1 : Mthode 2 :
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2)Expliquez quelles caractristiques doit possder un signal x(t) pour pouvoir tre chantillonn correctement sans perte d’informationsans respecter le thorme de Shannon.
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FORMULAIRE +∞ Convolution :f∗tg : →(f∗g)(t)=f(a)g(t−a) da −∞ +∞ * Energie totale :E=t)f(t)f(dt− ∞ * Energie d’interaction sur l’intervalle T :Exy(T)=y(t)x(dt)t T Puissance moyenne d’un signal priodique : +∞ 12 2 ( ) Pmoy=f t dt=αnT Tn= −∞ Signaux alatoires : + ∞ 1 Moyenne :moy=)E(x=Lim xi(t)dt=xp(x)dx i T→ +∞T− ∞ T + ∞ 212 2 Puissance :P=E(x)=Lim(x (t))dt=x p(x)dxT→ +∞T− ∞ i i T S2N−3 Rapport signal/bruit de quantification : =12.2 et Bmax S =6,02.N+1,76 dBBmax dB Dcomposition en srie de Fourier : +∞ a0 2Πnt 2Πnt n n f(t)= +a cos +b sin 2n=1T T T T + + 222Πnt222Πnt et avecan=Tf(t)cos dt bn=Tf(t)sin dt −− T2T T2T 2Πnt +∞T2ΠntT 1212 j+−j+ TT n−− ouf(t)= αeavecαn=Tf(t)e dtetα0=Tf(t)dtT T 2 2 n= −∞ Transformation de Fourier : +∞ +∞ j2Πνt −j2Π νt x(t)=X(ν)e dν X(ν)=x(dte)tet − ∞−∞ Quelques proprits de la transforme de Fourier. TF1 f(at)→F a a TF f(−t)→F(− ν) ∗TF∗ f(t)→F(− ν) TF−j2Πaν f(t−a)→(Feν) j2Πat TF ef(t)→F(ν −a)TF f×g→F∗GTF f∗g→F×GTF f′(t)→j2ΠνF(ν)(n) TF n f(t)→(j2ΠνF()ν)
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TF TF f(t)→F(ν)→f(−t)+∞ +∞ 2 2 f(t) dt=F(ν) dν− ∞− ∞ +∞ n F(ν)δ= α − ν Transforme des signaux priodiques :n T n= −∞ Autres proprits :f(t)F( )relle Re(F) est paire Im(F) est impaire relle et paire relle et paire relle et impaire imaginaire et impaire Quelques Transformes de Fourier. Fourier 1→ δ(ν)Fourier δ(t)→1 Fourier rect(t)→sinc(ν)Fourier 2 tri(t)→sinc(ν)Fourier sinc(t)→rect(ν)2 Fourier sinc(t)→tri(ν)Fourierj sgn(t)→ − πν Fourier1 j ech(t)→ δ(ν)− 2 2πν −t e pour t 0 ≥Fourier1 ie1(t)=→0 pour t<0 1+j2πν −t Fourier2 ie2(t)=e→2 1+(2πν) 2 2 −πt Fourier−πν ig(t)=e→eFourier1 cos(2πft)→(δ(ν −f)+ δ(ν +f))2 Signaux nergie finie : 2 * DSE :Sff(ν)=F(ν) DSEI :Sfg(ν)=F(ν)G(ν)Signaux nergie non finie : 12 DSP :Sff(ν)=LimFT(ν)T→ +∞ T +∞ 2n pour les fonctions priodiquesS(ν)= α δν −ff n n= −∞T 1* DSPI :Sfg(ν)=LimFT(ν)GT(ν)dν T→ +∞ T
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Autocorrlation et intercorrlation des fonctions nergie finie +∞+∞ ∗∗ C(τ)=x(t)⋅x(t− τ)dtetCxy(τ)=x(t)⋅y(t− τ)dt −∞− ∞ xx Autocorrlation et intercorrlation des fonctions nergie non finie T T 1∗1∗ + + 2 2 Cxx(τ)=limTx(t)⋅x(t− τ)dtetCxy(τ)=LimTx(t)⋅y(t− τ)dt T T T→ +∞ −T−→ +∞ 2 2 Pour les fonctions priodiques : T T 12∗12∗ + + = ⋅ − τCxx(τ)=Tx(t)⋅x(t− τ)dtetCxy(τ)Tx(t)y(t)dt −− T2T2 Autocorrlation et intercorrlation des fonctions alatoires T ∗1∗ + 2 Cxx(τ)=E[x(t)x(t− τ)]=limTx(t)⋅x(t− τ)dt T→ +∞ − T2 T 1+∗ ∗ 2 etCxy(τ)=E[x(t)y(t− τ)]=LimTx(t)⋅y(t− τ)dt T→ +∞− T 2 Formules dEuler. 1jx−jx1jx−jx cos x=e+sin xe et =e−e()()()() 2 2j Formules de trigonomtrie. cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b) cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) sin(a−b)=sin(a)cos(b)−sin(b)cos(a) 1 cos(a)cos(b)=[cos(a+b)+cos(a−b)] 2 1 sin(a)sin(b)=[cos(a−b)−cos(a+b)] 2 1 sin cos (a)(b)=[sin(a+b)+sin(a−b)] 2 ∀t≠0δ(t)=0 δ(0)= +∞ Dirac+∞ δ(t)dt=1 −∞ 1 δ(at)= δ(t) a f(t)(t−t )=ftt()(−t )0 0 0
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