Topologie et Calcul Di érentiel novembre
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Niveau: Supérieur
Topologie et Calcul Di?érentiel 25 novembre 2004 CORRIGÉ DU PARTIEL 1. Norme d?application linéaire. a. La sphère unité de (R2; k:k1) est le carré de sommets a = (1; 1), b = (1; 1), c = a, d = b. L?application u étant linéaire, l?image par u du segment de droite ab est le segment de droite a0b0 avec a0 = u(a) = 2 1 1 1 1 1 = 3 2 b0 = u(b) = 2 1 1 1 1 1 = 1 0 . L?image du carré est donc le parallélogramme de sommets a0, b0, c0 = a0, d0 = b0. [Figure] b. La norme d?application linéaire de u est1 kuk = max k(x;y)k1=1 ku(x; y)k2 . Il s?agit donc de trouver les points du parallélogramme a0b0c0d0 les plus éloignés de l?origine pour la distance euclidienne. Le dessin montre clairement que ce sont a0 et c0, d?où kuk = a0 2 = p 32 + 22 = p 13 . Remarque. Il est facile de justi?er ce qu?on a lu sur le dessin : si m est un point du segment a0b0 on a m = ta0 + (1 t)b0 avec 0 t 1 d?où, par l?inégalité triangulaire, kmk2 t a0 2 + (1 t) b0 2 max a0 2 ; b0 2
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Topologie et Calcul Di?érentiel 25 novembre 2004 CORRIGÉ DU PARTIEL 1. Norme d?application linéaire. a. La sphère unité de (R2; k:k1) est le carré de sommets a = (1; 1), b = (1; 1), c = a, d = b. L?application u étant linéaire, l?image par u du segment de droite ab est le segment de droite a0b0 avec a0 = u(a) = 2 1 1 1 1 1 = 3 2 b0 = u(b) = 2 1 1 1 1 1 = 1 0 . L?image du carré est donc le parallélogramme de sommets a0, b0, c0 = a0, d0 = b0. [Figure] b. La norme d?application linéaire de u est1 kuk = max k(x;y)k1=1 ku(x; y)k2 . Il s?agit donc de trouver les points du parallélogramme a0b0c0d0 les plus éloignés de l?origine pour la distance euclidienne. Le dessin montre clairement que ce sont a0 et c0, d?où kuk = a0 2 = p 32 + 22 = p 13 . Remarque. Il est facile de justi?er ce qu?on a lu sur le dessin : si m est un point du segment a0b0 on a m = ta0 + (1 t)b0 avec 0 t 1 d?où, par l?inégalité triangulaire, kmk2 t a0 2 + (1 t) b0 2 max a0 2 ; b0 2
- equivalence de normes
- norme d?application linéaire
- carré de sommets
- maximum de distance
- l?application réciproque
- point du segment a0b0
- l?image du carré
Topologie et Calcul Di¤érentiel
CORRIGÉ DU PARTIEL
25 novembre 2004
1. Norme dapplication linéaire. 2 a.La sphère unité de(R;k:k)est le carré de sommetsa= (1;1),b= (1;1),c=a, 1 d=b. Lapplicationuétant linéaire, limage parudu segment de droiteabest le segment 0 0 de droitea bavec 2 11 3 0 a=u(a=) = 1 11 2 2 111 0 b=u(b=) =. 1 11 0
0 0 00 00 Limage du carré est donc le parallélogramme de sommetsa,b,c=a,d=b.
[Figure]
1 b.La norme dapplication linéaire deuest kuk= maxku(x; y)k. 2 k(x;y)k=1 1 0 0 0 0 Il sagit donc de trouver les points du parallélogrammea b c dles plus éloignés de lorigine 0 0 pour la distance euclidienne. Le dessin montre clairement que ce sontaetc, doù pp 0 2 2 kuk=a= 13+ 2= 3. 2 Remarque.Il est facile de justier ce quon a lu sur le dessin : simest un point du segment 0 00 0 a bon am=ta+ (1t)bavec0t1doù, par linégalité triangulaire, 0 00 0 kmk t a+ (1t)bmaxa ;b. 2 2 22 2 En raisonnant de même sur les autres côtés du parallélogramme, on voit que le maximum de distance à lorigine ne peut être atteint quen lun des sommets. Les nominés sont donc p 0 00 00 00 00 0 a ; b c ; d. Commekak=kck= 13>1 =kbk=kdk, les gagnants sontaetc. 2 22 2 2. Homéomorphisme entre boules. a.Pourx6= 0notonsy=f(x). Alors, daprès les dénitions et les propriétés des normes, 2 kxk kxk 1 1 kyk=kxk=kxk,kyk=, 2 21 1 kxk kxk 2 2 doùkyk=kyk=kxk=kxket 2 12 1 kyk kxk 2 1 g(f(x)) =g(y) =x=x. kyk kxk 1 2 1 Noter quon écritmaxplutôt quesuplorsquon est sûr que la borne supérieure est atteinte. Cest le cas ici puisque la sphèrek(x; y)k= 1est compacte et quune fonction continue sur un compact atteint 1 sa borne supérieure.
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