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Niveau: Supérieur, Bac+5
Introduction Soit (an)n?N? la suite réelle définie par : an = 1 n ? ∫ n+1 n dt t . On étudie la série de terme général an. On montre qu'elle est convergente et on donne dif- férentes représentations de sa somme, notée ?, et appelée Constante d'Euler. Pour cela on commence par étudier la suite (Sn)n?N? définie par : Sn = n∑ p=1 ap = n∑ p=1 1 p ? ∫ n+1 1 dt t = n∑ p=1 1 p ? ln(n+ 1). On s'intéresse également à la suite (Hn)n?N définie par H0 = 0 et pour tout entier n > 1, Hn = n∑ p=1 1 p . PARTIE I : Première approche de la constante d'Euler 1) Soit p ? N?. En encadrant l'intégrale ∫ p+1 p dt t , montrer que 0 6 ap 6 1 p ? 1 p+ 1 . 2) En déduire que la suite (Sn)n?N? est majorée, puis qu'elle est convergente et que sa limite ? appartient à l'intervalle [0, 1] . 3) Vérifier que pour tout p ? N? on a : ap = 1 p ∫ 1 0 t t+ p dt, puis montrer que pour tout entier p > 2 on a : 1 2 ( 1 p ? 1 p

indices impairs dans l'expression de vp

lnn? e?n

convergence de l'intégrale ∫

série de vacca

méthode permettant le calcul

e?at ?

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Introduction

Soit(an)∗la suite rÉelle dÉﬁnie par : n∈N Z n+1 1 dt an=−. n t n On Étudie la sÉrie de terme gÉnÉralan.On montre qu’elle est convergente et on donne dif-fÉrentes reprÉsentations de sa somme, notÉeγ, et appelÉeConstante d’Euler. Pour cela on commence par Étudier la suite(Sn)n∈NdÉﬁnie par : ∗ n nZn X X X n+1 1 dt1 Sn=ap=−=−ln(n+ 1). p t p 1 p=1p=1p=1

On s’intÉresse Également À la suite(Hn)dÉﬁnie parH0= 0et pour tout entiern>1, n∈N n X 1 Hn=. p p=1

PARTIE I:PremiÈre approche de la constante d’Euler Z p+1 dt ∗ 1)Soitp∈N. En encadrant l’intÉgrale,montrer que t p 1 1 06ap6−. p p+ 1

2)En dÉduire que la suite(Sn)∗est majorÉe, puis qu’elle est convergente et que sa limiteγ n∈N appartient À l’intervalle[0,1]. ∗ 3)VÉriﬁer que pour toutp∈Non a : Z 1 1t ap= dt, p t+p 0 puis montrer que pour tout entierp>2on a :     1 1 1 1 1 1 −6ap6−. 2p p+ 1 2p−1p

4)En dÉduire un encadrement deSm−Snpourmetndes entiers vÉriﬁantm > n>1.Puis montrer que pour tout entiern>1on a : 1 1 6γ−Sn6. 2n+ 2 2n

5)Conclure qu’on a le dÉveloppement asymptotique suivant pour la suite(Hn)∗: n∈N   1 1 Hn= lnn+γ+ +o . n→∞ 2n n

1 ∗ 6)Pour toutn∈Non poseTn=Sn+. Montrer que 2n+ 2 1 06γ−Tn6. 2n(n+ 1)

∗ −2 7)DÉterminer un entiern∈Npour lequelTnest une valeur approchÉe deγÀ10prÈs. −2 Donner alors un encadrement deγÀ10prÈs.

PARTIE II

:Deux reprÉsentations intÉgrales de la constante d’Euler

SoitIun intervalle non vide deR,bornÉ ou non et soitf:I−→Rune fonction continue par morceaux. On dira quefestintÉgrablesurIsi l’intÉgrale impropre defsurIest absolument convergente. On admettra le rÉsultat suivant :SoitInon vide deun intervalle R,bornÉ ou non et soit P unune sÉrie de fonctions rÉelles positives, dÉﬁnies, continues par morceaux et intÉgrables P sur l’intervalleI.Si la sÉrie de fonctionsunconverge simplement surIvers une fonction +∞ P R P continue par morceaux et si la sÉrie numÉriqueunconverge, alors, la fonction sommeun I n=0 est intÉgrable surIet on a :  ! Z+∞+∞Z X X un=un I I n=0n=0 1)Dans cette question, on se propose de dÉmontrer la convergence de l’intÉgrale : Z   +∞ 1 1 −t e−dt. −t 1−et 0

a)Montrer que les deux intÉgrales suivantes sont convergentes: Z Z +∞ −t+∞ −t e e dtetdt. −t 1−et 1 1

1 1 + b)DÉterminer la limite de−quandt→0. −t 1−et c)Conclure. 2)Dans cette question on se propose de dÉmontrer que siaetbsont deux rÉels strictement −at−bt e−e positifs, alors la fonctiont7→est intÉgrable sur]0,+∞[et que t Z +∞ −at−bt e−eb dt= ln. t a 0

Soientxetydeux rÉels strictement positifs. a)DÉmontrer que : Z Z Z y−at−bt bx−t by−t e−ee e dt= dt−dt. t t t x ax ay b)Montrer que poura6bon a pour tout rÉelz >0: Z bz−t beb −bz−az eln6dt6eln a t a az

c)Montrer que Z +∞ −at−bt e−eb dt= ln. t a 0 3) Une premiÈre reprÉsentation intÉgrale de la constante d’Euler.

a)DÉmontrer que pour pour tout rÉelt >0on a :  ! +∞+∞ −nt−(n+1)t X X 1 1 e−e −nt = eet=. −t 1−et t n=0n=0

b)En dÉduire que pour pour tout rÉelt >0on a :  !  +∞ X −(n+1)t−(n+2)t 1 1 e−e −t−(n+1)t e−= e−. −t 1−et t n=0

c)DÉmontrer que pour tout rÉelt >0,on a :

−t 1−e 1−>0. t Z   +∞ 1 1 −t d)Retrouver alors la convergence de l’intÉgralee−dtet dÉmontrer −t 1−et 0 l’ÉgalitÉ : Z   +∞ 1 1 −t γ= e−dt. −t 1−et 0 4) Une deuxiÈme reprÉsentation intÉgrale de la constante d’Euler.

Soityun rÉel strictement positif. Z +∞ −t e a)Calculerdt,puis dÉduire que −t 1−e y  Z  +∞ −t e lim lny+ dt= 0. +−t y→01−e y

b)DÉmontrer que: Z Z   Z +∞ −t y+∞ −t e 1 1 e −t γ+ dt= e−dt+ dt. −t−t t1−et1−e y0y

c)En dÉduire que :

 Z  +∞ −t e limγ+ lny+ dt= 0. y→0t + y −t d)DÉmontrer que la fonctiont7→e lntest intÉgrable sur]0,+∞[et que : Z  Z  +∞+∞ −t e −t−y e lntdte ln= lim y+ dt . y→0t + 0y

e)Conclure alors que :

PARTIE III

Z +∞ −t γ=−e lntdt. 0

Pour une valeur approchÉe de la constante d’Euler

1) a)DÉmontrer l’ÉgalitÉ suivante : Z   Z 1−t+∞ −t 1 e e −dt= dt. −t−t t1−e 1−e 0 1

(Indication:on pourra calculer chacune des deux intÉgrales).

b)En utilisant l’ÉgalitÉ obtenue en II.3)d), dÉmontrer que : Z Z 1−t+∞ −t 1−e e γ= dt−dt. t t 0 1

+∞ X Hk k 2)SoitFla fonction dÉﬁnie parF(x) =x . k! k=0 k X 1 (On rappelle queH0= 0et pourk>1, Hk=. ) p p=1

a)Montrer queFest dÉﬁnie et dÉrivable surR. b)DÉmontrer que pour tout rÉelx >0on a : 1 0x F(x)−F(x) = (e−1). x c)Montrer alors que pour tout rÉelx >0on a : Z x−t 1−e x F(xd) = e t. t 0 3)DÉduire des questions prÉcÉdentes que pour tout rÉelx >0on a : Z +∞ −t e −x γ+ lnx= eF(x)−dt. t x

4)Soit un entiern>1et soit un entiera>2. Montrer que : +∞+∞ √ an+1  k X Xan Hk kn1a ne n6 6√. k! (an)!a a−1 2πa a k=an+1k=0   √n n (Indication:on pourra admettre et utiliser l’inÉgalitÉ :n!>2πnpour toutn∈N. e )

5)En dÉduire que pour tout entiern>1on a : an√ −n −n Xan Hkaene e −n k γ+ lnn−en6√+.  k!a−1 2nπa a k=0

−10 6)DÉcrire une mÉthode permettant le calcul d’une valeur approchÉe deγÀ10prÈs. (On ne demande pas le calcul d’une telle valeur approchÉe.)

PARTIE IV:La constante d’Euler somme de la sÉrie de Vacca (1910)

Pour tout entierp>0,on pose :   p+1 2−1 X k (−1)   vp=p . k p k=2

1) a)En sÉparant les termes d’indices pairs et ceux d’indices impairs dans l’expression devp, montrer que pour tout entierp>1on a :

vp=p(σp−1−σp)

oÙ

p+1 2−1 X 1 σp=. h p h=2

b)En dÉduire que pour tout entiern>1on a :

n n−1 X X vp=σp−nσn. p=1p=0

c)Montrerque pour tout entiern>1on a :

n−1 X 1 σp=H2−. n n 2 p=0 d)En utilisant le dÉveloppement asymptotique deHn,obtenu enI. 5), conclure que la sÉrie de terme gÉnÉralvpest convergente et qu’on a :

+∞ X vp=γ. p=1

∗ 2)On pose, pour toutn∈N, blognc n2 un= (−1) n oÙlogdÉsigne la fonction logarithme en base2etbxcdÉsigne la partie entiÈre du rÉelx. 2

a)Expliquer pourquoi le critÈre spÉcial des sÉries alternÉes ne permet pas de montrer la convergence de la sÉrie de terme gÉnÉralun. n+1n+2 b)Soitnun entier naturel et soitmun entier tel que :26m <2. Montrer que

m X k (−1) 1 6, n k2 n+1 k=2

puis en dÉduire que : m X n+ 1 uk6. n 2 n+1 k=2 n+1n+2 c)Soitnun entier naturel et soitmun entier tel que :26m <2. Montrer que

  m n X X n uk=vp+O n 2 k=1p=0 et en dÉduire que la sÉrie de terme gÉnÉralunconverge et que l’on a :

3)On pose pour tout entier natureln:

+∞ X un=γ. n=1

+∞ k X (−1) rn=. k n k=2

a)Montrer que la sÉrie de terme gÉnÉralrnest absolument convergente.

b)Exprimervken fonction dek, rketrk+1.Montrer ensuite que n n X X vk=rk−nrn+1. k=1k=1 Conclure que :    ! +∞+∞+∞+∞ X X X X k j (−1) (−1)   γ= = n k2 +j n n=1k=2n=1j=0

PARTIE V:La formule de Gosper (1972)

Dans cette partie on dÉsigne parFleR-espace vectoriel x= (xk)est un ÉlÉment deF,on notera aussix[k]le k∈N l’endomorphismeΔdeFdÉﬁni par :

des suites rÉelles indexÉes termexkde la suitex.On

∀x∈ F,∀k∈N,Δ (x) [k] =x[k]−x[k+ 1].

parN.Si considÈre

∗n Pourn∈N,on noteΔl’endomorphisme deFobtenu en composantΔavec lui mmenfois 0 et on poseΔ = IdF.   n Pour tout entiern∈Net pour tout entierp∈[0, n]le coeﬃcient binÔmial :, dÉsigne p   n n! = p p!(n−p)! 1)DÉmontrer que pour toutn∈N, pour toutx∈ Fet pour toutk∈Non a : n  X n n p Δ (x) [k] = (−1)xp+k. p p=0

(Indication:ÉcrireΔ = IdF−ToÙTest l’endomorphisme deFdÉﬁni, pour toutx∈ Fet pour toutk∈N, par :T(x)[k] =x[k+ 1].)

2)Soit(up)une suite rÉelle convergente et de limite`. On se propose de montrer que : p∈N n  X 1n limup=`. n n→∞ 2p p=0    ! n p a)Soitp∈N. Montrer que la suite converge vers0. n 2 n>p b)On suppose dans cette question`= 0. Montrer que n  X 1n limup= 0. n n→∞ 2p p=0 (Indication :On pourra utiliser l’ÉgalitÉ suivante : n k n  X X X 1n1n1n up=up+up n n n 2p2p2p p=0p=0p=k+1 et, Étant donnÉe un rÉelε >0,choisir un entierksuﬃsamment grand pour que l’on ait n  X 1n ε up<.) n 2p2  p=k+1

c)Conclure pour le cas gÉnÉral oÙ`est quelconque.

3)Dans cette question, on se propose de dÉmontrer la propriÉtÉ suivante : Soitx= (xk)∈ F. k∈N n PΔ (x) [0] k Si la sÉrie(−1)xkconverge et on a :converge, alors, la sÉrie de terme gÉnÉral n+1 2 +∞+∞ X X n Δ (x) [0] k (−1)xk=. n+1 2 k=0n=0

On pose, pour toutN∈N:

N X k UN= (−1)xk k=0

N n X Δ (x) [0] VN=. n+1 2 n=0

a)DÉmontrer que N  X 1N+ 1 VN=Uq. N+1 2q+ 1 q=0 k (on pourra observer que pour toutk∈N,(−1)xk=Uk−Uk−1,avec, par convention, U−1= 0).

n Δ (x) [0] b)En dÉduire que la sÉrie de terme gÉnÉral converge et que : n+1 2 +∞+∞ n X X Δ (x) [0] k = (−1)xk. n+1 2 n=0k=0

4)On considÈre dans cette question un entiern>1ainsi que la suitex= (xj)dÉﬁnie par : j∈N

1 xj=. n 2 +j

a)Montrer que pour tout entierm>0on a :

1 1 m Δ (x=) [0] n. n2 +m 2 m

Indication:On pourra admettre et utiliser le rÉsultat suivant : Pourm, n∈Non a Z 1 m!n! n m x(1−x)dx= (m+n+ 1)! 0

b)En dÉduire que : +∞+∞ X X 1 1 γ=n. m+n+1 2 +m 2 n=1m=0m c)Conclure que la constante d’Euler peut s’Écrire :

+∞p−1 X X 1 1 1 γ= +. p−k p+1 2 +k 2 2 p=2k=1k

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