Si K R ou C pour un polynome P X K X on notera P la fonction polynome associee a P X
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Niveau: Supérieur, Bac+5
Notations • Si K = R ou C, pour un polynome P (X) ? K[X], on notera P la fonction polynome associee a P (X). • Si deux suites numeriques (un)n et (vn)n sont equivalentes, on notera un ?n vn. De meme, si f et g sont deux applications reelles definies au voisinage d'un point x0 et equivalentes en x0, on notera f(x) ?x0 g(x). Quand le voisinage sera un voisinage a droite en x0, on precisera f(x) ?x+0 g(x). • On rappelle que le produit au sens de Cauchy de deux series (reelles ou complexes) ∑ un et∑ vn, est la serie ∑ wn ou le terme general wn est defini pour n ≥ 0 par wn = ∑n k=0 unvn?k. On rappelle aussi que si les series ∑ un et ∑ vn sont absolument convergentes, alors la serie produit ∑ wn est aussi absolument convergente et l'on a ( +∞∑ n=0 un )( +∞∑ n=0 vn ) = +∞∑ n=0 wn Objectifs du probleme Ce sujet aborde une serie de resultats et de proprietes relatifs a la formule de Stirling1 ainsi qu'aux polynomes et nombres dits de Bernoulli2.
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Notations • Si K = R ou C, pour un polynome P (X) ? K[X], on notera P la fonction polynome associee a P (X). • Si deux suites numeriques (un)n et (vn)n sont equivalentes, on notera un ?n vn. De meme, si f et g sont deux applications reelles definies au voisinage d'un point x0 et equivalentes en x0, on notera f(x) ?x0 g(x). Quand le voisinage sera un voisinage a droite en x0, on precisera f(x) ?x+0 g(x). • On rappelle que le produit au sens de Cauchy de deux series (reelles ou complexes) ∑ un et∑ vn, est la serie ∑ wn ou le terme general wn est defini pour n ≥ 0 par wn = ∑n k=0 unvn?k. On rappelle aussi que si les series ∑ un et ∑ vn sont absolument convergentes, alors la serie produit ∑ wn est aussi absolument convergente et l'on a ( +∞∑ n=0 un )( +∞∑ n=0 vn ) = +∞∑ n=0 wn Objectifs du probleme Ce sujet aborde une serie de resultats et de proprietes relatifs a la formule de Stirling1 ainsi qu'aux polynomes et nombres dits de Bernoulli2.
- resultats etablis dans les questions precedentes sans les demontrer
- integrales de wallis
- x21 ?
- methode de calcul par integrations suc- cessives
- formule de stirling
- signe constant
- serie ∑
Notations
•SiK=RouCeom,oprunuopylˆnP(X)∈K[X], on noteraPnˆompolyealcnofnoit associ´eea`P(X). •nuesitsuueiqerm´(sedxuiSun)net (vn)neltnseo,´tqeiuavnnnoosteraun∼nvn.Demeˆm,e sifetginse´dfiellse´ree’unpagedisinauvotnostnioaticnsiouxdeplapx0laviuqe´testeen enx0, on noteraf(x)∼x0g(xldnaioveanisesegQu).ortieenraunvoisinage`adx0, on pre´ciseraf(x)∼+g(x). x 0 P •On rappelle que leproduit au sens de Cauchys)mpcoxelelleeuoseeire´r(sxu´sededunet P P P n eralwpinfie´dtseroun≥0 parw=u v. vn´sreeie,tsalwnrmeg´en´o`uleten n k=0n n−k P P Onrappelleaussiquesiless´eriesunetvnesntgeerlarslo,aeire´ssoosultnbaocvnemtn P produitwnest aussi absolument convergente et l’on a ! ! +∞+∞+∞ X X X unvn=wn n=0n=0n=0
Objectifsduprobl`eme
1 Cesujetabordeunese´riedere´sultatsetdepropri´ete´srelatifs`alaformuledeStirling 2 ainsiqu’auxpolynoˆmesetnombresditsdeBernoulli.Ilsecomposedequatreparties. DanslapartieI,on´etablitlaformuledeStirlingquidonneun´equivalentsimplede 3 la suite (n!)nsaudi´eeetudont´uqsisi,aWllseedalgr´entsileseliituliavarteC.aube´ledt partie.LafindelapartieIestuneapplicationdesint´egralesdeWallisetdelaformulede n Stirling`al’e´tudeduvolumedesboulesdansR. LapartieIIs’int´eresseauxpolynˆomesetnombresdeBernoulli.Onye´tudiecer-tainesdeleurspropri´et´esetl’ondonnedeuxapplicationsdecettee´tude.Lapremie`re, N X p arithm´etique,s’inte´resseaucalculdessommesdutypekoctscasn`ixueeme.deLar´ee k=0 xt te aude´veloppementense´rieenti`eredelafonction. t e−1 4 Dans la partie III, on introduit la fonctionζde Riemann et l’on explicite ses valeurs prises sur les entiers positifs pairs au moyen des nombres de Bernoulli. Ce calcul permet, aveclaformuledeStirling,d’expliciterune´quivalentsimplepourlasuitedesnombresde Bernoulli. DanslapartieIV,onrevienta`laformuledeStirlingetl’onde´crituneme´thodepour obtenir un raffinement asymptotique de la formule. Lespartiesdecesujetnesontpasind´ependantes,chacuned’ellespouvantutiliser desre´sultats´etablisdanscellesquilapre´c`edent.Aussipourra-t-onutiliserpourtraiter certainesquestions,lesr´esultatse´tablisdanslesquestionspre´ce´dentessanslesd´emontrer. Ilesttoutefoisvivementconseille´auxcandidatsd’aborderlin´eairementcesujet.
1 James,math´ematicienanglais,Garden1692-Edimbourg1770. 2 Jakob(francise´enJacques),math´ematiciensuisse,premierd’unelongueligne´efamilialede math´ematiciens.Bˆale1654-Bˆale1705. 3 John,mathe´maticienanglais,Ashford1616-Oxford1703. 4 GeorgFriedrichBernhard,math´ematicienallemand,Breselenz1826-Selasca1866
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I.Int´egralesdeWallisetformuledeStirling.
I.1.Inte´gralesdeWallis. Pour tout entiern≥0, on pose Zπ 2 n Wn= cos (x)dx 0 Z π 2 n I.1.a. Montrer que, pour toutn≥0, on aWn= sin (x)dx. 0 (Indication. On pourra, par exemple, utiliser un changement de variables.) I.1.b. Montrer que la suite (Wn)n.anteoiss´ecrdtnemetcirtstse n n+1 (Indication.Pourlade´croissance,onpourracomparerlesfonctionsx7→cos (x) etx7→cos (x). Pourlastricted´ecroissance,onpourraraisonnerparl’absurde.) I.1.c.Al’aided’uneint´egrationparpartiesmontrerque,pourn≥0, on a n+ 1 Wn+2=Wn n+ 2
I.1.d.Ende´duireque,pourtoutentierp≥0, on a (2p)!π W2p= 2p2 2 (p!) 2 2p2 2 (p!) W2p+1= (2p+ 1)!
I.1.e. Montrer que, pour toutn≥0, on a π WnWn+1= 2(n+ 1)
(Indication.Onpourrautiliserlaquestionpr´ec´edenteendistinguantsuivantlaparite´del’entier n.) I.1.f. Prouver que, pour toutn≥0, on a
1Wn+1 1−< <1 n+ 2Wn etende´duirequeWn∼nWn+1. (Indication. On pourra utiliser la question I.1.b.) r π I.1.g. Montrer finalement queWn∼ndnE.ude´lerimiWn. 2n n
I.2. Formule de Stirling. Onconsid`erelasuite(un)n´dfiein,eoprun≥1, par n n!e un=√ n n n
et la suite auxiliaire (vn)nrdu´niefipoe,n≥2, par
vn= lnun−lnun−1
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I.2.a. Exprimer simplementvnen fonctionneppoleve´dnurenn’oale`t´milintmerdreetdo 2 en 1/nde la suite (vn)n. X I.2.b.End´eduirequelas´erievnMontrer alors que les suites (lnest convergente. un)n et (un)nnvcotetnegrei’uqcnode´rnleixeluetsK >0 tel que n n√ n!∼nK n e
I.2.c.Enutilisantcete´quivalent,calculerune´quivalentsimpledelasuite(W2p)p. √ d´eduirequeK= 2πet, par suite, que n √ n n!∼n2πn e (Formule de Stirling)
En
I.3.Uneautreapplicationdesint´egralesdeWallis. [msluarelseteitlpsurlppelt´egesinaRitnoilase´ar´gne.(Ce rappel n’est utile que pour les sous-questions I.3.a. et I.3.c. de cette question I.3.) Lesnotionsd’inte´gralesdoublesettriplesainsiquelame´thodedecalculparinte´grationssuc-cessivesdecesderni`eres(pr´esentesauprogramme),sege´n´eralisenta`toutedimensionfiniede n lamanie`resuivante:e´tantdonn´eunentiern≥1, une partieAn⊂Renumtnoceˆnitrestida n−1 param´etrablesin= 1etA1est un segment ou sin≥2et s’il existe une partieAn−1⊂R continˆumentparam´etrableetdeuxfonctionscontinuesf, g:An−1−→Rtelles que n An={(x1,∙ ∙ ∙, xn)∈R/(x1,∙ ∙ ∙, xn−1)∈An−1etf(x1,∙ ∙ ∙, xn−1)≤xn≤g(x1,∙ ∙ ∙, xn−1)} Avec ces notations, pour une fonction continueϕ:An−→Rdeleiplt´efin,ond´tni’ltiumelargeϕ surAnpar la formule suivante : ! Z Z Z Z Z g(x1,∙∙∙,xn−1) ∙ ∙ ∙ϕ(x1,∙ ∙ ∙, xn)dxn∙ ∙ ∙dx1=∙ ∙ ∙ϕ(x1,∙ ∙ ∙, xn)dxndxn−1∙ ∙ ∙dx1 AnAn−1f(x1,∙∙∙,xn−1)
Onadmettra,sansde´monstration,qu’`al’instardesint´egralesdoublesettriples,ler´eelainsiobtenu nede´pendquedelapartieAnet de la fonctionϕ. Le volume de la partieAnsera alors, par Z Z de´finition,ler´eel∙ ∙ ∙dxn∙ ∙ ∙dx1.] An
Onseproposed’´etudiericilecomportementduvolumed’uneboulederayonfixe´quand onfaitvarierladimensiondel’espace.Pluspre´cis´ement,onsefixeunr´eelR >0et pour n tout entiern≥1oncon`disderesnaRla bouleBnde centreOet de rayonR: n22 2 +∙ ∙ ∙+x Bn={(x1,∙ ∙ ∙, xn)∈R/ xn≤R} 1 On noteVnson volume.
n I.3.a. Montrer que, pourn≥2, pour tout (x1,∙ ∙ ∙, xn)∈R, on a (x1,∙ ∙ ∙, xn−1)∈ Bn−1 (x1,∙ ∙ ∙, xn)∈ Bn⇐⇒ q q 2 22 2 2 2 −R−x− ∙ ∙ ∙ −x≤xn≤R−x− ∙ ∙ ∙ −x 1n−1 1n−1
Ende´duireparre´currencesurn≥1, queBnetsoctnniuˆemntparam´etrable. I.3.b. Soientλ >0utelee´rnm≥Montrer, en se servant par exemple d’un0 un entier. changement de variable utilisant la fonctiont7→λsint, que Zm λ 2 2m+1 2 λ−x dx= 2λ Wm+1 −λ
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