Révision d'analyse et d'algèbre 2007 Université de Technologie de Belfort Montbéliard
2
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Français
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2008
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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Révision d'analyse et d'algèbre 2007. Retrouvez le corrigé Révision d'analyse et d'algèbre 2007 sur Bankexam.fr.
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Utbm mt30,xt30
Examen médian:durée 2 heures
Automne 2007
Nb: Lesdifférents exercices sont indépendants. Ils seront absolument rédigés sur des copies séparées.
Exercice 1Nombres complexes −→−→ Le plan affinePest rapporté au repère orthonormé directO, i, j.
1.1Résoudre dansCl’équation suivante: 2 z−2z+ 2 = 0. 1.2SoientK,L,Mles points dePd’affixes respectiveszK,zL,zMdéfinies par: √ zK= 1 +i;zL= 1−i;zM=−i3.
(a)On appelleNle symétrique du pointMpar rapport au pointLl’affixe. CalculerzNdeN. π (b)La rotationrde centreOtransforme le pointet d’angleMen le pointAet le pointNenB. 2 Déterminer les affixes respectives deAetB,zAetzB. −→ −→ (c)La translationtde vecteurud’affixe2i, transforme le pointNen le pointC. Déterminerl’affixezC u du pointC. zA−zC 1.3Montrer que=ipeut-on en déduire pour le triangle. QueABC? zB−zC
Exercice 2Suites: méthodedite de Héron d’Alexandrie (−125avant JC environ) Nb: Onchange de feuille !
On définit la suite(un)par : u0= 3; 1 10 u=u+. n+1n 2un √ On se propose de montrer que(un)converge vers10. 2.1Etude de quelques propriétés de la suite(un) (a)Montrer par récurrence que pour toutndeNon a:un>0. (b)Montrer que pour toutndeN 2 2 u−10 n 2 u−10 =. n+1 2 4u n √ ∗ (c)Montrer que pour toutndeNon a:un≥10. 2.2Convergence de(un) (a)Montrer que la suite(un)n≥1est décroissante.En déduire que la suite(un)est convergente. √ (b)Montrer que sa limite estl= 10. .../...
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2.3"Qualité" de la convergence (a)En utilisant la relation √ √ 2 u n+1−10 = (un+1−10)(un+1+ 10) √ √ donner une majoration deun+1−10en fonction deun−10. √ (b)On supposeu1−10≤k. Montrer que pour toutn≥1on a : n−1 2 √ √ k un−10≤2 10√. 2 10
(c)Application √ En utilisant la suite(un), fournirl= 10avec huit décimales exactes. Combien de termes ont-ils été nécessaires pour atteindre cette précision?
Exercice 3Matrices Nb: Onchange de feuille !
On considère l’ensembleM3(R)des matrices carrées de côté3à coefficients réels; on noteIsa matrice unité. Soitmun paramètre réel quelconque. On donneAdeM3(R)par: m1 1 A= 1m1. 1 1m
On se propose dans cet exercice de déterminer les valeurs du paramètrempour lesquelles la matrice est inversible sans calcul de déterminant. 3.1Montrer qu’il existe une matriceJ, à calculer, pour laquelle on a: A= (m−1)I+J.
2 3.2CalculerJet en déduire qu’on peut écrire:
2 A= (2m+ 1).A+ (1−m) (m+ 2).I
3.3Déduire de la question précédente :
(a)les valeurs dempour lesquellesAest inversible;
(b)la matrice inverse deA, lorsqu’elle existe, en fonction dem.
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