Première composition de Mathématiques 2002 Classe Prepa MP Ecole Polytechnique
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Examen du Supérieur Ecole Polytechnique. Sujet de Première composition de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2002
MP FILIÈRE
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. La première partie est indépendante des trois autres.
Première partie
∞ 1.On considère une suite(wn)n∈Nde réels strictement positifs vérifiantwn= 1et une n=0 ∞ 2 uew <+∞. suite(an)n∈Nde réels telle qnan n=0
∞ 2 Vérifier que la fonctionx→Da(x) =wn(an−x)est bien définie surRet atteint son n=0 minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l’ensemble des points où il est atteint.
2.On considère une fonction continue réelle de carré intégrablefsur l’intervalle]0,1[. Vérifier Ä ä 1 2 que la fonctionx→Df(x) =f(t)−xdtest bien définie surRet atteint son minimum. 0 On déterminera ce minimum ainsi que l’ensemble des points où il est atteint.
Deuxième partie
Dans cette partie, on se donne une fonction réellefsur l’intervalleI=]0,1[, continue par morceaux et intégrable. 1 3.Vérifier que la fonctionx→Δ(x) =|f(t)−x|dtest bien définie surR. 0
4.a)Montrer que la fonctionΔest continue et convexe.
1
b)Déterminer les limites deΔ(x)lorsquextend vers+∞ou−∞.
5.Montrer queΔadmet un minimum, que l’on noteraV, et que l’ensembleMdes points oùΔatteint ce minimum est un intervalle.
6.Exemples. DéterminerΔ, VetMdans les deux cas suivants : 1sit1/2 a)f(t) =. 0sit >1/2 b)f(t) =t.
Troisième partie
On se donne à nouveau une fonctionfayant les propriétés indiquées dans ladeuxième partie; on suppose en outre quefest monotone par morceaux, c’est-à-dire qu’il existe des nombres t0= 0< t1< .. .< tn= 1 tels quefsoit monotone sur chaque intervalle]ti, ti+1[. Pour tout intervalleJdeR, éventuelle-ment réduit à un point, on définit une fonctionχsurIpar J 1sif(t)∈J χ(t) =. J 0sinon
7.Vérifier que la fonctionχest continue par morceaux et intégrable surI. On noteλ(J) J son intégrale.
8.Établir les propriétés suivantes de l’applicationλ:
a)Étant donnés des intervallesJ1, J, . . .ndeux à deux disjoints dont la réunion est encore un intervalle, on a λ(J1∪. . .∪Jn) =λ(J1) +. . .+λ(Jn) ; b)Étant donnée une suite croissante d’intervalles(Jn)n∈N, on a Ä ä λ∪Jn= supλ(Jn). n∈N n∈N
c)Étant donnée une suite décroissante d’intervalles(Jn)n∈N, on a Ä ä λ∩Jn= infλ(Jn). n∈Nn∈N 9.Soitxun réel etεun réel>0; on pose
J1=]− ∞, x], J2=]x, x+ε[, J3= [x+ε,+∞[.
2
a)Démontrer l’égalité suivante : Ä äÄ ä 1 1 2 Δ(x+ε)−Δ(x)−λ(J1) +λ(J3) =λ(J2) +χ(t)x−f(t) dt , J2 ε ε0 oùΔest la fonction définie à la question3.
b)Montrer queΔadmet en tout pointxune dérivée à droite que l’on déterminera.
c)Même question pour la dérivée à gauche.
d)Comparer ces deux dérivées et dire pour quelles valeurs dexelles sont égales.
10.On pose φ(x) =λ(]− ∞, x]) Å ãÅ ã 1 1 φ(x+ 0) =limφ x+φ(x−0) =limφ x− n→+∞n→+∞ n n a)Exprimerφ(x+ 0)etφ(x−0)en fonction deφ(x)et deλ({x}).
(1) (2)
b)Montrer que l’ensembleNdes réelsxvérifiantφ(x−0)1/2φ(x), s’il n’est pas vide, est un intervalle fermé borné.
c)Comparer les ensemblesM(défini à la question5.) etNet préciser le comportement deφsur l’intérieur deNlorsqueNn’est pas réduit à un point.
Quatrième partie
11.On se donne une fonctionfsurI, réelle, continue, intégrable et monotone par morceaux; on noteMfetVfce qui était notéMetV.
a)Démontrer l’inclusionMf⊂f(I).
b)Montrer queMfest réduit à un point, que l’on noteramf. 1 1 c)ComparerVfet|f(t)|dt, puismfet2|f(t)|dt. 0 0
12.On considère une suite(gn)de fonctions surI, réelles, continues, intégrables et monotones par morceaux; on suppose que cette suite converge en moyenne vers une fonctiongcontinue par morceaux, intégrable et monotone par morceaux. On posemn=mgn. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite(mn)est non vide et inclus dans l’ensembleMgdes points 1 où la fonctionx→ |g(t)−x|dtatteint son minimum. 0
∗ ∗ ∗ 3
