Polytechnique X exponentielles d endomorphisme integrales et series 2009 mp

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈREMPCONCOURSD’ADMISSION 2009PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES(Durée : 4 heures)L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.???Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et sériesPremière partie∞ ∞On désigne par C (R) l’espace vectoriel des fonctions réelles, de classe C , d’une variableréelle. On déﬁnit comme suit des endomorphismes de cet espace :∞ 0 0• pour toute f ∈C (R), (Xf)(x) =xf(x), (Df)(x) =f (x), (Af)(x) =xf (x),∞ t• pour tout nombre réel t et pour toute f ∈C (R), (Φ f)(x) =f(e x).t1. Vériﬁer que la valeur ent = 0 de la dérivée de la fonctiont7→ (Φ f)(x)est égale à (Af)(x).tOn va maintenant étudier les puissances de A et chercher le sens à donner à la formuleexp(tA) = Φ .tnX t n2. Vériﬁer que, si f est un polynôme, la série (A f)(x) est convergente et de sommen!n>0(Φ f)(x).tn n n−13. Montrer que, pour tout entier n> 0, on a D X =XD +nD .4. Montrer que, pour tout entier n> 0, il existe des nombres réels positifsμ , k = 1,... ,n,n,knXn k ktels que A = μ X D , et exprimer μ en fonction des μ , p = 1,... ,n−1.n,k n,k n−1,pk=1Préciser les valeurs de μ et μ .n,1 n,n15. On désigne par f un polynôme d’une variable réelle. Démontrer la relationÑ énX X tt k (k)∀t, x∈R f(e x) =f(x)+ μ x f (x).n,kn!k>1 n>k6. Étant donné une suite de nombres réels a , k ∈N, comparer les rayons de convergencekX Xk kdes séries entières a x et ka x .k kk>0 k>0Xk7. On se donne maintenant une fonction ...

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2009

MP FILIÈRE

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. ? ? ?

Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries

Première partie

∞ ∞ On désigne parC(R)l’espace vectoriel des fonctions réelles, de classeC, d’une variable réelle. On déﬁnit comme suit des endomorphismes de cet espace :

∞ 00 •pour toutef∈C(R),(Xf)(x) =xf(x),(Df)(x) =f(x),(Af)(x) =xf(x),

∞t •pour tout nombre réeltet pour toutef∈C(R),(Φtf)(x) =f(e x).

1.Vériﬁer que la valeur ent= 0de la dérivée de la fonctiont7→(Φtf)(x)est égale à(Af)(x). On va maintenant étudier les puissances deAet chercher le sens à donner à la formule exp(tA) = Φt. n X t n 2.Vériﬁer que, sifest un polynôme, la série(A f)(x)est convergente et de somme n! n>0 (Φtf)(x).

n nn−1 3.Montrer que, pour tout entiern >0, on aD X=XD+nD.

4.Montrer que, pour tout entiern >0, il existe des nombres réels positifsµn,k, k= 1, n, . . ., n X n kk tels queA=µn,kX D, et exprimerµn,ken fonction desµn−1,p, p= 1, . . ., n−1. k=1 Préciser les valeurs deµn,1etµn,n.

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