Polytechnique X 2002 premiere composition de mathematiques classe prepa pc

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ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2002 FILIÈREPCPREMIÈRECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.L’objetdeceproblèmeestl’étudedesystèmesrégisparuneéquationdiﬀérentielledépendantd’unedonnéeappelée«commande»etlarecherchede«commandesoptimales».∗ pPourtout p ∈ N,onnote· lanormeeuclidienne sur R et (·|·)leproduitscalaire∗ peuclidien.Latransposéed’unematriceréelle Mestnotée M.OnidentiﬁeunélémentdeRavecunematriceà plignesetunecolonne.Dansceproblème,onappellefonctionbiencontinueparmorceauxsurunintervalle [0,T]deRtoutefonction ϕcontinueparmorceaux,continueàgauchesur [0,T]etcontinueàdroiteen0,c’est-à-diretellequ’ilexisteunnombreﬁnidepoints, t =0t=1,2,...,k− 1.PréliminairesSoit M l’espacevectorieldesmatricescarréesréellesà plignes.Pour M∈M,onposep pMX| M| =sup .pXX∈RX=01.a)Vériﬁerque M∈M −→ | M|∈ Restunenormesur M.p pb)Montrerque,pourtoutesmatrices M,N∈M,p| MN| | M|| N| .n 1 k2.a)Pour n ∈ N,onposeS (M)= M.Montrerquelasuite(S (M)) estn n n∈Nk!k=0convergentedansl’espacevectoriel M munidelanorme |·| .p1Onpose∞ 1M ke = lim S (M)= M .nn→+∞ k!k=0tMb)Montrerquelafonction t∈R→ e ∈Mestcontinue,dérivableetquepd tM tMe =Me .dtd dtM −tM (s+t)M −tMc)Calculer (e e )et,pour ...

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2002

FILIÈREPC

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   

L’objet de ce problème est l’étude de systèmes régis par une équation diﬀérentielle dépendant d’une donnée appelée « commande » et la recherche de « commandes optimales ».

∗p Pour toutp∈N, on note ∙ la norme euclidienne surRet(∙|∙)le produit scalaire ∗p euclidien. Latransposéed’une matrice réelleMest notéeM. On identiﬁe un élément deR avec une matrice àplignes et une colonne.

Dans ce problème, on appelle fonctionbien continue par morceauxsur un intervalle[0, T]de Rtoute fonctionϕcontinue par morceaux, continue à gauche sur[0, T]et continue à droite en 0, c’est-à-dire telle qu’il existe un nombre ﬁni de points,t0= 0< t1. .< .< tk−1< tk=Ttels queϕest continue sur[0, t1],]t1, t2], . . .,]tk−2, tk−1],]tk−1, T]et quelimϕ(t)existe pour t→t t>t = 1,2, . . ., k−1.

Préliminaires

SoitMpl’espace vectoriel des matrices carrées réelles àplignes. PourM∈ Mp, on pose

M X |M|= sup. X∈RX p X=0

1.a)Vériﬁer queM∈ Mp→−|M| ∈Rest une norme surMp.

b)Montrer que, pour toutes matricesM, N∈ Mp, |M N||M| |N|. n  1 k 2.a)Pourn∈N, on poseSn(M) =M. Montrer que la suite(Sn(M))n∈Nest k! k=0 convergente dans l’espace vectorielMpmuni de la norme| ∙ |.

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