Partiel d'Integration et Analyse de Fourier

pages

Français

Documents

2004

Écrit par
Ludwig Boltzmann

Publié par
zauj

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

pages

Français

Ebook

2004

Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Publié par

zauj

Publié le

01 novembre 2004

Nombre de lectures

Langue

Français

Niveau: Supérieur

cours - matière potentielle : manuscrites

Partiel d'Integration et Analyse de Fourier Ecole normale superieure de Lyon 16 novembre 2004 DENSITE, RECURRENCE ET ERGODICITE Le sujet est constitue de trois problemes independants, et d'une section supplementaire qui etablit des liens entre ces trois problemes. Les questions sont de difficulte variable. La non-resolution d'une question n'est pas un obstacle a la resolution des questions suivantes. Les notes de cours manuscrites et imprimees sont autorisees. Il n'est pas necessaire de traiter une proportion importante du sujet pour obtenir une tres bonne note. 1. Ensembles “fortement denses” On rappelle un resultat de topologie elementaire, qu'on ne demande pas de demontrer : Tout ouvert O de R est union au plus denombrable d'intervalles ouverts disjoints, appeles composantes connexes de O. Dans ce probleme, on souhaite partager l'intervalle [0, 1] en deux sous-ensembles mesurables disjoints A et A? tels que pour tout intervalle I ? [0, 1], non reduit a un point, les ensembles A ? I et A? ? I soient non denombrables. Combler les trous (de maniere concise) dans la construction suivante, presentee de maniere informelle : “On note C ? [0, 1] l'ensemble triadique de Cantor. Pour construire l'ensemble A, on commence par y introduire C ; puis on “remplit” chaque composante connexe de [0, 1]\C avec une copie de C (obtenue par dilatation/translation).

application mesurable

maniere concise

theoreme ergodique de birkhoff

theoreme

physique statistique

tribu

systeme dynamique en temps discret

tribu engendree par les applications coordonnees

stabilite du systeme solaire

renforcement considerable du theoreme de poincare

Voir

Publié par

zauj

Publié le

01 novembre 2004

Nombre de lectures

Langue

Français

Partield’Int´egrationetAnalysedeFourier

Ecolenormalesup´erieuredeLyon 16novembre2004

´ ´´ DENSITE, RECURRENCE ET ERGODICITE

Lesujetestconstitue´detroisprobl`emesind´ependants,etd’unesectionsuppl´ementaire quie´tablitdesliensentrecestroisproble`mes.Lesquestionssontdediﬃcult´evariable. Lanonre´solutiond’unequestionn’estpasunobstaclea`lar´esolutiondesquestions suivantes.Lesnotesdecoursmanuscritesetimprime´essontautorise´es.Iln’estpas n´ecessairedetraiteruneproportionimportantedusujetpourobtenirunetre`sbonne note.

1.Ensembles “fortement denses” Onrappelleunr´esultatdetopologiee´le´mentaire,qu’onnedemandepasded´emontrer: Tout ouvertOdeR,stnireavi’tnlbdebmarisjortsdouvellessteoinupuandsulone´ appele´scomposantesconnexesdeO. Dansceprobl`eme,onsouhaitepartagerl’intervalle[0,1] en deux sousensembles ′ mesurables disjointsAetAtels que pour tout intervalleI⊂[0,nu],1nrnodu´e`ait ′ point, les ensemblesA∩IetA∩Inentno´dnemorbba.sseoli Comblerlestrous(demani`ereconcise)danslaconstructionsuivante,pr´esente´e demani`ereinformelle:“OnnoteC⊂[0,1] l’ensemble triadique de Cantor. Pour construire l’ensembleA, on commence par y introduireC; puis on “remplit” chaque composante connexe de [0,1]\Cavec une copie deC(obtenue par dilatation/translation). Onrecommenceensuiteleproce´d´e(remplissagedestrous)a`l’inﬁni.L’ensembleA ve´riﬁealorslecahierdescharges;unargumentdethe´oriedelamesuremontreque ′ l’ensembleA= [0,1]\Aaussi.” R´ecurrenceetthe´orieergodique Pr´eambuleculturel:cl`elee,evd´opelxiduuene`ivisemﬁadnlAepemtnedal physiquestatistiqued’unepart,delame´caniquec´elestemoderned’autrepart,mo tiventl’e´tudemath´ematiquedesyste`mesdynamiquesentempsgrand,avecl’espoir, entre autres, de justiﬁer le second principe de la thermodynamique (la croissance de l’entropiedessyst`emesisole´s)oudevalider/r´efuterlastabilit´edusyst`emesolaire. Le physicienLudwig Boltzmannintroduisit alors l’euqiodrgeeesh`otyph, se lonlaquelleunsyst`emem´ecanique“visite”demanie`re“´egale”toutl’espacedes phases disponible; il avait pour but de troquer des moyennes temporelles, a priori impossibles`acalculer,contredesmoyennesspatiales.Sapremi`ereformulation(une trajectoiretypiqueremplitl’espacedesphases)e´taitgrossi`erementerrone´e;ilconjec turaensuitequ’unetrajectoiretypiquee´taitdensedansl’espacedesphases.C’estla naissance de lath´eoreuqreeiidog, qui aura une importance capitale en physique

Voir