Mathématiques Paris et Lyon 2003 Classe Prepa PC Concours Ecole Normale Supérieure
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Concours du Supérieur Concours Ecole Normale Supérieure. Sujet de Mathématiques Paris et Lyon 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques Paris et Lyon 2003 sur Bankexam.fr.
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LC 312J. 5019SESSION 2003 Filière MP (groupes M/MP/MI) Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan Filière MP (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan Filière PC (groupe I) Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P.
Introduction
Soitnun entier naturel non-nul.On noteM=Mn,n(C) l’espace vectoriel de dimension 2 narr´eesatricescedmsn×na coefficients dans le corpsCOndes nombres complexes. noteC=Mn,1(C) l’espace vectoriel de dimensionnoeace`nnlocoesicamrtdsestneicffi dansC, etL=M1,n(C) l’espace vectoriel de dimensionnEnfin, ondes matrices ligne. noteR1le sous-ensemble deMcirtamsegnaredsecon1.u´edstit SiPetQeriilepae´ndutsougrulx´d´eeenntesmoGLn(C), on noteϕP,Ql’endomorphisme de l’espace vectorielMdruop,infie´A∈ M, par
ϕP,Q(A) =P AQ. On noteTl’endomorphisme transposition deM,esc’`at-ir-ddelee’dnmorohpsiemM t d´efiniparT(A) =ApourA∈ Mnote alors. On
et
G={ϕP,Q;P, Q∈GLn(C)}, 0 G={T◦ϕP,Q;P, Q∈GLn(C)},
0 G=G∪G .
Premi`erepartie
On va montrer dans cette partie que les endomorphismesfde l’espace vectorielM, tels quef(R1)⊂ R1e´em´osnl,esetndseme´eltn´rptsiceG. 1)Montrer que sif∈ G, et siA∈ R1, alorsf(A)∈ R1.
2)nu’d´le´nemeedtertronMuqteuoetamrtcideerang1estproduitCrupaeln´me´ent deL.
0 00 0 3)SoientX, X∈ CetV, V∈ L. Onsuppose queXV+X Vest de rang≤1, et 0 queVetVdansdnepstnaitnee´dnean´emirsolintL. 0 00 00 3-a)Montrer qu’il existeY, Y∈ C, tels queV Y= 1,V Y= 0,V Y= 0 etV Y= 1. 0 3-b)Eequeudridne´XetXadsesntli´sonC.
4)SoientF, F1, F2trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielEsuppose. On queF⊂F1∪F2. MontrerqueF⊂F1ouF⊂F2.
5)SiX∈ C− {0}, on noteXL={XV;V∈ L},enoˆmme.DeonetCV={XV;X∈ C}pourV∈ L − {0}. 5-a)esvectorus-espaclta`edosi’sla’igMuqrertnosleiedM, de dimensionnet con-stitue´sdematricesderanginf´erieurou´egala`1. 5-b)SoitFun sous-espace vectoriel deM, de dimensionnu´edematricese,nocttits deranginfe´rieurou´egal`a1.MontrerqueFest soit de la formeXLpourX6= 0, soit de la formeCVpourV6= 0. 0 00 5-c)Calculer, pourX, X∈ C − {0}etV, V∈ L − {0}, les intersectionsXL ∩XL, 0 CV∩ CVetXL ∩ CV.
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Onsedonne,jusqu’`alafindecettepartie,unendomorphismefsur l’espace vectoriel M, tel quef(R1)⊂ R1. 6)Montrer que l’image parfd’un sous-espace vectoriel deM, de dimensionn, et constitue´dematricesderanginfe´rieuroue´gal`a1,estdumˆemetype. 7)On suppose qu’il existeX1, X2− {∈ C0}cnonniloiae´,serlsteequ,f(X1L) =Y1L etf(X2L) =Y2LavecY1, Y2∈ C − {0}. 7-a)Montrer qu’il existeQ∈GLn(C), telle quef(X1V) =Y1V Qpour toutV∈ L. [Indication:d´efinirQsur une base deL.] 7-b)Montrer quef(X1L)6=f(X2L). [Indicationpar l’absurde.]: raisonner 7-c)Montrer que pour toutV− {∈ L0},f(CV) est de la formeCUavecU∈ L− {0}.
7-d)Que dire def(XL) pourX∈ C − {0}? 7-e)Montrer que pour toutX∈ C −{0}, il existeY∈ C −{0}, telle que pour tout V∈ L, on ait
f(XV) =Y V Q pour la matriceQobtenue en 7-a). 7-f )Montrer quef∈G. 8)Conclure.
Deuxie`mepartie On va montrer qu’un endomorphisme d’espace vectorielfdeMire´vefif(GLn(C))⊂ GLn(C) si, et seulement si, il est dansG. 1)Montrer que sif∈ G, et siA∈GLn(C), alorsf(A)∈GLn(C). 2)SoitA∈ M, de rangr≤n−1. 2-a)Montrer qu’il existeM∈GLn(C), telle queM−λA∈GLn(C) pour toutλ∈C. 0Ir [Indication:oncommencerapartraiterlecasou`A.]est la matrice par blocs 0 0 2-b)Montrer qu’il existeN∈GLn(C), telle queN−λAsoit non inversible pour exactementrvaleurs distinctes deλ. 3)Soitfun endomorphisme deM, tel quef(GLn(C))⊂GLn(C). 3-a)Montrer que siAn’est pas inversible, alorsf(A) non plus. 3-b)Montrer que pourA∈ M, on a
rangf(A)≥rangA.
3-c)eduirequeEnd´flevrnarerpg.ese´ 3-d)Conclure.
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