EXERCICE Soita, bdeux entiers naturels non nuls etsleur somme. Une urne contient initialementaboules noires etbboules blanches indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant : –silabouletire´eestblanche,elleestremisedansl’urne; –silabouletire´eestnoire,elleestremplace´edansl’urneparunebouleblancheprisedansuner´eserve annexe. Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujourssboules. Onde´signepar(Ω,B,Pecetelismod´equiil´sabibpeorpscane)uuterltiennaerurpouttocnei,teexeetre´pn non nul, on note : –Bn’´ev´enementl«lan-i`emeboecheetslbnaluterie´»; –Xnredenombntleignaseitnahcselboblusdersouucsaeer´valaabrieriose´dlaeltae´npremiers tirages; –unle’pse´arcndeelavariableal´earioteXnir-d,ese’ca`-tun=E(Xn). ´ 1. Etuded’un ensemble de suites SoitAl’ensemble des suites (xn)n>1enifit:euli´seqeerrv´d ∗ ∀n∈Nx, sn+1= (s−1)xn+b+n ∗ a) Soitαetβes(tduerxe´levn)n>1:rapiefin´eeditsula∀n∈N, vn=α n+β. De´terminerenfonctiondebet desles valeurs deαetβpour que la suite (vn)n>1appartienne a`A. b) Soit(xn)n>1at`anetiusenunetrappaA, (vn)n>1laaqueeee`taldnepnrt´esct´ieodee´ustinie´etmr ∗ (yn)n>1r:panfieidee´ustial∀n∈N, yn=xn−vn. Montrer que la suite (yn)n>1cilir,teeequxpteitneanreruoptuotestunoe´mteirseiuet´glutern non nul,ynpuisxnen fonction dex1, b, setn.
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2.Expressiondelaprobabilite´P(Bn+1)a’di`laedeun a) Donner,en fonction debet dese´tilideesivctabobprlaavell,seseeprursP(B1) et du nombreu1. b+ 1−u1 b)Calculerlaprobabilite´P(B2ge´’tila:e´tv)eri´erlfieP(B2) =∙ s c) Soitnrelvnatutierunen1tnafiire´6n6a. Montrer que, pour tout entierkde l’intervalle[0, n]], b+n−k laprobabilite´conditionnelleP(Bn+1/[Xn=k])a`ealegt´es∙ s b+n−un Ende´duirel’´egalit´e:P(Bn+1) =∙ s d) Soitnuntnernieruta´vlefiiretnan > a. Sikest un entier de l’intervalle[0, n−a−eleuq,]]1t[enemenv´´el’stXn=k] ? b+n−k Sikest un entier de l’intervalle[n−a, n,]]tsujligae:t´erifi´el’P(Bn+1/[Xn=k]) =∙ s b+n−un Montrerenfinquel’´egalit´eP(Bn+1se.)=ri´eeefi´ncteevor s 3. Calculdes nombresunet P(Bn) ´ a) Soitnun entier naturel non nul. Etablir, pour tout entierkde l’intervalle[n+ 1−a, ntila:e´]],l’´eg a−n+k b+n−k+ 1 P([Xn+1=k]) =P([Xn=k]) +P([Xn=k−1]) s s V´erifiercettee´galite´pourk=n+ 1, k=n−aet pour tout entierkde l’intervalle[1, n−a−1]] . b) Calculer,pour tout entier naturelnnon nul,un+1en fonction deunet denuired´ed.Enauqle suite (un)n>1ppaitra`tnee’laemnseblAadsnaluqseitnotu´e´edi1. c) Donner,pour tout entier naturelnnon nul, les valeurs deunet deP(Bn+1) en fonction deb, s etn. d) Quellessont les limites des suites (un)n>1et (P(Bn))n>1? ` PROBLEME
Danstoutleprobl`eme,onde´signeparCl’espace vectoriel des applications continues deRdansR. ` A toute applicationfdeC, on associe l’applicationD(f) deRdansRniepar:´dfie ∀x∈R, D(f)(x) =f(x+ 1)−f(x) Les partiesA,BetCteanndpe´endtsion.s Questionpre´liminaire:Dest-il un endomorphisme deC?
Partie A : Image parDtitionder´eparcnofnoitdenu’
1.SoitFune application deCptsodeiore´sdeR.lrelepparioppresquest´´eFee´rmmocpeetreourˆid´econs unefonctionder´epartition. 2.SoitFune application deCquiesutenofcnitnoed´repartitionetgl’applicationD(F). a) Montrerquegest positive. Z x+1 b)Prouver,pourtoutre´elxlbuodal,lage´nie:´eitF(x)6F(t) dt6F(x+ 1). x Z Z x+1x+1 Ende´duirequeleslimiteslimF(t) dtet limF(t) dtisteexrslrueicesrpe´tnte x→−∞x→+∞ x x valeurs. Z B c) SoitAetBfi´ivrsleeten´arxuedA <0< BetI(A, B)inl’egt´lera:I(A, B) =g(t) dt. A Z Z B+1A+1 Justifierl’´egalite´:I(A, B) =F(t) dt−F(t) dt. B A d) Prouveralors soigneusement queglibae´tiede´borpdeneitns.tues
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3. Unexemple On suppose, dans cette question, queFbleal´eaunevariaustiotriqeiuncfoontielastitit’dno´redrape la loi uniforme sur l’intervalle [0,1] et on pose :g=D(F). D´eterminerg(xo´prerueot)tulx, en distinguant les casx <−1,−16x <0, 06x <1 et 16x. Repre´sentergraphiquementl’applicationg.
Partie B : Recherche des valeurs propres deD
Siλqteunoideel,unr´estλest unevaleur propredeDs’il existe une applicationfdeC, distincte de l’applicationnulle,v´erifiant:D(f) =λ f. ax 1.Soitaee´rnuetonnO.lgal’application deCfiein´d:pera∀x∈R, ga(x) =e. D´eterminerl’applicationD(ga). 2.deiueruqteuorte´eld´Enλ`aurieerp´strictementsu−1 est une valeur propre deD. ax 3.Soita´eelunrtoeO.nnhal’application deC´ediefin:rap∀x∈R, ha(x) = sin(πx)e. D´eterminerl’applicationD(ha). 4.outr´eeluirequetnE´ddeλieer`aurtnem´fnirtsetci−1 est une valeur propre deD. 5.lr´eeLe−1 est-il une valeur propre deD?
Partie C : Image parDd’une application polynomiale Pour tout entier naturelpeop,are´dnngisEple sous-espace deCoitacilpsnssntme´eapestlonod´sletnel polynomialesdedegre´auplusp. k k On noteXl’applicationx7→xet, pour tout entier naturel non nulk, on noteXl’applicationx7→x. Soit (Hi)i∈N’appitedlasucaliontiolspomynelaie´dseinfi:rap i−1 Y 1 ∗ H0= 1et∀i∈N, Hi= (X−k) i! k=0 1.seci´ePrrH1, H2, H3et montrer queU3= (H0, H1, H2, H3) est une base deE3. 2 3 2.SoitB3= (1, X, X, X) la base canonique deE3. ´ −1 a) Ecrirela matrice de passagePde la baseB3a`alabseU3et calculer la matriceP. 2 3 b) Soita0, a1, a2, a3set´seredleQl’application polynomialea0+a1X+a2X+a3X. Quellessontlescoordonn´eesdeQdans la baseU3? 3 Enparticulier,v´erifierl’´egalite´:X=H1+ 6H2+ 6H3. 3.Application:momentd’ordre3d’unevariableal´eatoiredePoisson Soita´rnuisiteftmetepontlseeictrZlolantvassoiePidarapednoerte`mnuveraaitoiresuibleal´eaa. n X 3k k a a) Pourtout entier naturelnouurga´ea3l`np,o:esoreeius´pSn= . k! k=0 3 TransformerSnonti:a`’liaededaleral∀k∈N, k=H1(k) + 6H2(k) + 6H3(k). ∞ X 3n3n n an a End´eduirequelas´eriedetermege´ne´ralestconvergenteetpre´ciser∙ n!n! n=0 b)Ende´duirequelavariableale´atoireZ3eodnne´tn’drordunetmemopar:dma 3 23 E(Z) =a+ 3a+a 4.Dans cette question,punfilnlnouterreantienunstex´e. a) Montrerque, siQappartient`aEp,D(Qa)ppraitneusta`asiEp. On note alorsDpl’endomorphisme deEpttauoui,`qQdeEp, associeD(Q). b) Montrerque la familleUp= (H0, H1, . . . , Hp) est une base deEp. c)D´eterminerDp(H0),Dp(H1) et prouver, pour tout entieriv0fiant´eri< i6p,l’:e´tilage´ Dp(Hi) =Hi−1.