Mathématiques III 2000 Classe Prepa HEC (ECO) HEC
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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques III 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2000 sur Bankexam.fr.
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Exercice 1 1. Montrerque, pour tout nombre réelx >0et tout entier naturelk;lintégrale 1 Z kxt t e dt 5 1 +t 1 est convergente. Pour quelles valeurs de lentierkcette intégralle est-elle aussi convergente pourx= 0? 1 xt R e 2. Onse propose détudier la fonctionFdénie, pourx>0;parF(x) =dt: 5 1 +t 1 Montrer queFest une fonction strictement positive, décroissante et que limF(x) = 0 x!+1
3. (a)Montrer que, pour tout réelt>0;tout réelx>0et tout réelh>0;on a :
2 2 t h t(x+h)txtxtx ee+t he6e 2
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(b) Montrerde même que, pour tout réelt>0;tout réelx>0et tout réelh60;on a : 2 2 t h t(x+h)txtxt(x+h) ee+t he6e 2 (c) Endéduire que pour tout réelx>0et tout réelhtel quex+h>0;on a : 1 1 Z Z xt2 2 te ht F(x+h)F(x) +h dt6dt 5 5 1 +t+2 1t 1 1 (d) Montrerenn que la fonctionFest dérivable sur[0;+1[et donner une expression de sa fonction dérivée 0 F : 12xt R t e 0 4. Montrerde même queFest dérivable sur[0;+1[et queF"(x) =dt 5 1 +t 1 5. Onse propose de montrer que la fonctionln(F)est convexe. 2 (a) Montrerque sia,betcsont trois nombres réels tels que, pour tout réel;on ait linégalité :a+ 2 2b+c>0;alors, nécessairement,acb>0: (b) Endéduire que la fonctionln(F)est une fonction convexe.
Exercice II On dispose de deux jetonsAetBque lon peut placer dans deux casesC0etC1;et dun dispositif permettant de tirer au hasard et de manière équiprobable, lune des lettrea,boucdébut de lexpérience, les deux jetons. Au sont placés dansC0:On procède alors à une série de tirages indépendants de lune des trois lettresa,bouc. A la suite de chaque tirage, on e¤ectue lopération suivante : si la lettreaest tirée, on change le jetonAde case,
si la lettrebest tirée, on change le jetonBde case,
si la lettrecest tirée, on ne change pas le placement des jetons.
On suppose quil existe un espaceprobabilisé dont la probabilité est notéep, qui modélise cette expérience et que lon dénit deux suites de variables aléatoires sur cet espace,(Xn)et(Yn), décrivant les positions n>0n>0 respactives deAetB, en posant :X0=Y0= 0, et pour tout entier naturel n non nul,Xn= 0si à lissue de la ieme nopération, le jetonAse trouve dansC0etXn= 1sil setrouve dansC1; de même,Yn= 0si à lissue de la ieme nopération, le jetonBse trouve dansCetY= 1sil setrouve dansC : 0n1
I Simulation Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de simuler lexpérience, qui lira un entierNentré au clavier, représentant le nombre de tirages à e¤ectuer, et qui a¢ chera à lécran la liste des couples observés(Xn; Yn)pour 1nN: Ce programme utilisera la fonctionRANDOMqui renvoie, pour un argumentmde typeINTEGER, un nombre entier de lintervalle[0; m1], tiré au hasard et de manière équiprobable. (Cette fonction doit être initialisé par la commandeRANDOMIZE)
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II Simulation ieme 1. (a)Soit n un entier strictement positif.Déterminer la probabilité que, à lissue de lanopération, le jetonAnait jamais quittéC0: (b) Quelleest la proabilité que le jetonAreste indéniment dansC0? ieme 2. Pourtout entier naturelksupérieur ou égal à 2, on sinterresse à lévénementDk:à lissue de lak opération, le jetonArevient pour la première fois dansC0:Déterminer la probabilitép(Dk). 3. SoitM la matrice 2 1 M= 1 2 (a) Déterminerles valeurs propres deMet donner une base de vacteurs propres. n; (b) Endéduire lexpression deMpour tout entiernstrictement positif.
4. (a)Calculer les probabilitésp(X1= 0)etp(X1= 1): (b) Déterminerune matriceQtelle que, pour tout entier natureln;on ait légalité matricielle : p(Xn+1= 0)p(Xn= 0) =Q p(Xn+1= 1)p(Xn= 1) n (c) Pourtout entier naturelnnon nul, calculer la matriceQet en déduire la loi de la variableXn:
III Etude dun mouvement du couple de jetons(A; B) On suppose que lon dénit sur le même espace probabilisé une suite de variables aléatoires(Wn), à valeurs n>0 dansf0;1;2;3g, décrivant les positions des dexu jetonsAetB;en posant : W0= 0;et pour tout entier naturelnnon nul, ieme Wn= 0;si à lissue de lanopération,AetBse trouvent tous les deux dansC0; ieme Wn= 1;si à lissue de lanopération,Ase trouve dansC0;etBdansC1; ieme Wn= 2;si à lissue de lanopération,Ase trouve dansC1;etBdansC0; ieme Wn= 3;si à lissue de lanopération, les deux jetonsAetBse trouvent dansC1: 1. Calculerla probabilitép(W1=i)pouriégal à 0, 1, 2 et 3. 2. Déterminerla matriceRtelle que, pour tout entier natureln;on ait légalité matricielle : 0 10 1 p(Wn+1= 0)p(Wn= 0) p(Wn+1= 1)p(Wn= 1) B CB C =R @ A@ A p(Wn+1= 2)p(Wn= 2) p(Wn+1= 3)p(Wn= 3) 3. Onconsidère les matrices : 0 10 10 1 1 0 0 01 1 1 10 0 0 1 0 1 0 01 1 1 10 0 1 0 B CBCB C I=; U=; V= @ A@ A@ A 0 0 1 01 1 1 10 1 0 0 0 0 0 01 1 1 11 0 0 0 n n (a) Pourtout entier naturelnnon nul, calculerUetV : (b) Etablir,pour tout entier naturel non nuln;légalité n X n kk nk k (UV() =1)VC U n k=0 0 0 où par convention on pose :U=V=I:
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(c) Endéduire, pour tout entier naturel non nuln;légalité
1 n nn nn (UV) =[3(1) ]U+ (1)V 4
n 4. Pourtout entier naturelnnon nul, calculerR etdonner la loi de la variableWn:(on distinguera les casn pair etnimpair)
5. Déterminer, pour tout entier naturelnnon nul, la covariance deXnetYnet calculer la limite de cette covariance quandntend vers +1:
VI Etude dun long séjour. ieme On suppose que chaque tirage, avec lopération qui le suit, dure une minute.Ainsi, à lissue de lanopération, nminutes se sont écoulées depuis le début de lexpérience. Soitnun entier naturel non nul. On suppose que le nombre de minutes écoulées pendant lesquelles le jetonAa séjourné dansC1, entre le début ieme de lexpérience et lissue de lanopération, est une variable aléatoire que lon noteTn:
1. ExprimerTnà laide des variablesXk, pourkcompris entre 1 etn: 2. Endédure lespéranceE(Tn). 1 Calculer la limite deE(Tn)quandntend vers linni. n
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