Mathématiques III 1999 Classe Prepa HEC (ECO) HEC
4
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
4
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques III 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 1999 sur Bankexam.fr.
Voir
CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
1/4
Exercice 1 4 44 On noteL(R)lensemble des endomorphismes de lespace vectorielR,Idlendomorphisme identique deRetI la matrice identité deM4(R). Onconsidère les matrices : 0 10 1 0 1 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 1 B CB C L=; M= @ A@ A 0 0 0 11 0 0 0 0 0 1 00 1 0 0 4 On désigne respectivement par'etles endomorphismes deRreprésentés parLetMdans la base canonique 4 E= (e1; e2; e3; e4)deR. 4 1. (a)Montrer que'etsont des automorphismes deRet en déterminer les automorphismes réciproques. (b) Déterminerles valeurs propres et les sous espaces propres associés de lendomorphisme'. Déterminer de même les valeurs propres et les sous espaces propres associés de. 4 (c) Montrerque lon peut trouver un vecteurf1non nul deRvériant'(f1) =f1et(f1) =f1. 4 (d) Déterminer,plus généralement, une baseF= (f1; f2; f3; f4)deRdont chaque vecteur est à la fois un 0 0 vecteur propre de'et un vecteur propre de. Donnerla matriceLde'et la matriceMdedans cette baseF. 4 2. Onse propose détudier lensembleCdes endomorphismesdeRvériant'='et=. 4 (a) MontrerqueCest un sous espace vectoriel deL(R)qui contient'et. 0 0 (b) Montrerque si2Cet2C, alors2C. 4 4 (c) Soit2 L(R)un endomorphisme deRet soitGla matrice dedans la baseF, constituée de vecteurs propres de'et, déterminée à la question 1.d).Montrer que2Csi et seulement siGest une matrice diagonale. 4 (d) Endéduire queCest un sous espace vectoriel de dimension 4 deL(R)et que les en domorphismesId, ',et'forment une base deC.
Exercice 2 On considère un entier naturelNsupérieur ou égal à 3, et on notef1;2; : : : ; Nglensemble des entiers strictement positifs, inférieurs ou égaux àN. Une urne contientNboules numérotées de1àN. Ony e¤ectue des tirages successifs dune boule avec remise de la boule tirée après chaque tirage, jusquà obtenir pour la première fois un numéro déjà tiré.On note alorsTNle rang aléatoire de ce dernier tirage. Cest ainsi que, si on a obtenu successivement les numéros -1-5-4-7-3-5-, la variableTNprend la valeur 6, alors que si lon a obtenu -5-4-2-2- la variableTNprend la valeur 4. On admet quon dénit ainsi une variable aléatoire sur un espace probabilisé, dont la probabilité est notéeP. Toutes les variables aléatoires introduites dans le problème seront supposées dénies sur cet espace.SiZest une telle variable, son espérance sera notée E(Z) et sa variance V(Z). N.B.Les parties II et III sont indépendantes.
I. Etude de la variable aléatoireT N 1. Danscette question, on se place dans le cas particulier où lentierNest égal à 3. Déterminer la loi deT3et calculer son espérance et sa variance. 2. Onrevient désormais au cas général oùNest supérieur ou égal à 3.
(a) Déterminerlensemble des valeurs que peut prendreTN.
2/4
(b) CalculerP(TN= 2),P(TN= 3), etP(TN=N+ 1). (c) Prouver,pour tout entierkdef1;2; : : : ; Ng, les égalités
k1 Y N!i P(TN> k= (1) =) k (Nk)!N N i=0
En déduire la loi de la variable aléatoireTN. (d) Déterminer,pour tout entierkxé, la limitelimP(Tn> k). N!+1 Pouvait-on prévoir ce résultat?
II. Etude dun algorithme Dans le programme Turbo-Pascal suivant, la fonctionRANDOMrenvoie, pour un argumentMde typeINTEGER, un nombre entier aléatoire de lintervalle[0; M1]. PROGRAM simulation; VAR T :ARRAY[1..20001] OF INTEGER; U,S,i,n :INTEGER; coincide :BOOLEAN;
PROCEDURE X; BEGIN RANDOMIZE; {initialisationde la fonction RANDOM} FOR i :=1 to 20001 DO T[i] :=1+RANDOM(20000); END;
BEGIN X; i :=1; coincide :=FALSE; REPEAT i :=i+1; S :=0; WHILE (S<i-1) and NOT coincide DO BEGIN S :=S+1; IF T[S]=T[i] THEN conicide :=TRUE; END; UNTIL coincide = TRUE; U :=i; FOR n :=1 to i DO WRITELN(T[n],, ); WRITELN; WRITELN(U= ,U); WRITELN(S= ,S); READLN; END.
a) Quefait la procédure X ?
b) Quereprésentent les variables U et S à la n du programme ?
c Pourquoiest-il certain que le nombre de passages dans la boucleREPEAT ...
3/4
UNTILest ni ?
III. Etude du comportement asymptotique de la suite(TN)N>3 1. Uneformule pour lespérance deTN. N P (a) Justierlégalité suivante :E(TN) =P(Tn> k). k=0 h N N!PN (b) Endéduire légalité :E(TN) =. N N h! h=0 2. Unrésultat utile sur les lois de Poisson. Soit(Xn)n>1une suite de variables aléatoires de Poisson indépendantes de paramètre= 1et soit, pour tout entierN>1,YN=X1+X2+: : :+XN. (a) Montrer par récurrence surN, que la loi deYNest une loi de Poisson de paramètreN. Donner lespérance et la variance deYN. (b) Justierlégalité 0 Z YnN1 2 t =2 limPp60 =pe dt N2 N!+1 1 1 (c) Endéduire légalite :limP(Yn6N) = N!+12 N 1N!e 3. Enappliquant ce résultat, montrer queE(TN)est équivalent àquandNtend vers linni. N 2N 4. Uneexpression de la variance deTN. N P 2 (a) MontrerlégalitéE(T) =(2k+ 1)P(TN> k): N k=0 h N N PN!PN (b) Etablirla relationkP(TN> k) =(Nh). N N h! k=0h=0 h N+1 N PN N (c) Montrerlégalité :(Nh) =. h!N! h=0 (d) Endéduire que la varianceV(TN)deTNet son espérance vérient la relation : 2 V(TN) = 2N+E(TN)(E(TN)) p NN 5. Enadmettant le résultat classique :N!N e2NquandNtend vers linni, donner, en conclu-sion, des équivalents simples deE(TN)etV(TN): * FIN *
4/4
