Mathématiques II 2006 Tronc Commun INSA Lyon
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Examen du Supérieur INSA Lyon. Sujet de Mathématiques II 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2006 sur Bankexam.fr.
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INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON PÔLE DE MATHEMATIQUES Département du Premier Cycle ASINSA20062007 Mathématiques Deuxième Année Semestre 1 Interrogation écrite II Avertissement: lesdocuments et calculatrices sont interdits.Durée 1h30. Les exercices peuvent être traités dans un ordre quelconque.Le barème est donné à titre indicatif. La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation de la copie. Exercice1(10 points) Rb 1 at On se propose de déterminer une valeur approchée detdtoùaetbsont deux réels strictement positifs. 0 b at 1 Justifier que l’applicationt∈]0,1]7−→test prolongeable en une applicationfcontinue sur[0,1]. ( n 1b (axln(x))six∈]0,1] Pn! 2 On considère la série d’applicationsfndéfinie parfn:x∈[0,1]−→7. n 0six= 0 b by aque) Justifiersup|xln(x)|= sup|ye|et calculer la valeur de ce supremum. x∈]0,1]y∈]−∞,0] P bque) Montrerfnconverge uniformément sur[0,1]et a pour sommef. n Z+∞Z 1 1 X 1 b at bn 3 Montrer quetdt= (atln(t)) dt. n! 0 0 n=0Z 1 ∗α n 4 Pourα∈t. R+etn∈N, on noteIα,n=t(lnt) d 0 n ∗ aque pour tout) Montrern∈Non aIα,n=−Iα,n−1. α+ 1 b) Endéduire la valeur deIα,n(en fonction denet deα). n X k k (−1)a 5 Pour toutn∈N, on noteSn=. k+1 (bk+ 1) Zk=0 1 b at aque) Montrertdt= limSn. n→+∞ 0Z n+2 1 1a b ∗at bque pour tout) Montrern∈Non atdt−Sn6. a b(n+ 1) + 1 0 cce résultat et conclure.) Interpréter Exercice2(10 points) 1 Soitzun nombre complexe de partie réellexet de partie imaginairey. a) Exprimer|sin(z)|à l’aide des fonctions réelles de la variable réelle sinus, cosinus, sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique enxety. bdéduire que) En|sh(y)| ≤ |sin(z)| ≤ch(y). cque la fonction sinus complexe n’est pas bornée sur) MontrerC. 2 2 2 Montrer que pour toutz∈Con a|cos(z)|+|sin(z)| ≥1et que l’égalité a lieu uniquement sizest réel. X 1z 3 a) Montrerque la série de fonctionssinconverge absolument dansC. 2 2 n n n≥1 On désigne parfl’application deCdansCqui est la somme de cette série. bque cette série ne converge pas normalement sur) MontrerCmais qu’elle converge normalement sur le disqueD(0, R)pour toutR∈R+. c) Justifierquefest une application continue surC. P +∞1 4 Pourp∈N,p≥2on noteζ(p) =ppourra montrer ou admettre que. (Onζ(p)∈[1,2].) n=1n P On admet le résultat suivant :la série double2ankconverge si et seulement si pour chaque entierk (k,n)∈N P PP +∞ t convergente et lae determe généralA=|a|converge; la sérieanksériest absolumenkAk kn=0nk n +∞+∞+∞+∞ X XX X on a alorsank=ank. n=0k=0k=0n=0 +∞ X k (−1) 2k+1 a) Montrerque pour toutz∈Con af(z) =ζ(4k+ 4)z . (2k+ 1)! k=0 ∞ b) Endéduire quefest de classeCsurC.
