Mathématiques II 2006 Classe Prepa HEC (ECS) ENSAE

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Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques II 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2006 sur Bankexam.fr.

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2006 ENSAE

A 2006MATH. IIMP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2006

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l’épreuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP.

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Le but de ce problème est d’étudier le comportement asymptotique ﬁn des racines de la dérivée du polynôme de degrén+ 1,

Pn(X) =X(X−1). . .(X−n),

lorsquentend vers l’inﬁni. On noteracotla fonction déﬁnie sur]0, π[par

cos(x) cot(x) =. sin(x)

Cette fonction est une bijection de]0, π[surR. On noteraArc cotsa fonction réciproque. Pour tout réelx,[x]désignera la partie entière dex. On rappelle la formule de Stirling: n n n!∼2πn .( )quandn→+∞. e Les parties I et II sont indépendantes.

0 I. Quelquespropriétés des racines deP n 0 1) Montrerque, pour toutn≥1,Padmet exactement une racinexn,kdans n chacun des intervalles]k, k+ 1[, pourk= 0, . . . , n−1.

Notonsαn, k=xn, k−k∈]0,1[, la partie fractionnaire dexn, k.

0 2) Pourn≥1, en calculant les coeﬃcients de degrén−1etndeP, n P P n−1n−1 exprimerxn, k, puisαn, ken fonction den. k=0k=0

3) EncomparantPn(X)etPn(n−X), exprimerxn, n−1−ken fonction de xn, k, pour toutn≥1, et pour toutk= 0, . . . , n−1.

4) Déterminerla valeur deαn, k+αn, n−1−k.

Le but des questions suivantes est de montrer que,nétant ﬁxé, la suite desαn, kcroît lorsquekcroît de 0 àn−1.

5) Pourtoutn≥1, dresser, en fonction de la parité den, le tableau de variations dePn.

On y fera apparaître les réelsxn, kpourk= 0,1, . . . , n−1ainsi que les entiers0,1, . . . , n. On pourra s’inspirer du modèle de la ﬁgure 1.

n−k 6) Endéduire le signe de(−1)Pn(xn, k)pourk= 0,1,∙ ∙ ∙, n−1.

7) Enutilisant la relationPn(X) = (X−n)Pn−1(X), déterminer le signe de n−k0 ( (−1)Pnxn−1, k)pourk= 0,1,∙ ∙ ∙, n−2.

8) Endéduire que pourk= 0,1,∙ ∙ ∙, n−2, on axn−1, k> xn, k.

9) Enutilisant l’idenditéPn(X) =XPn−1(X−1), déterminer, en fonction n−k0 deketn, le signe de(−1)P(1 +xn−1, k−1)pourk= 1,∙ ∙ ∙, n−1. n

10) Endéduire que pourk= 1,∙ ∙ ∙, n−1, on axn, k>1 +xn−1, k−1.

11) Conclure.

II. Undéveloppement asymptotique ∗x−1−t Pourx∈R, on considère la fonctionhxdéﬁnie surR+parhx(t) =.t e 12) DéterminerE={x∈R|hxest intégrable sur]0,+∞[}.

Pourx∈ E, on pose

Z +∞ x−1−t Γ(x) =t edt. 0

13) MontrerqueΓest strictement positive surE.

14) MontrerqueΓest deux fois dérivable surE.

15) Exprimerpour toutx∈ E,Γ(x+ 1)en fonction dexetΓ(x).

On admet que la fonctionΓsatisfait, pour toutx∈]0,1[:, la formule π Γ(x) Γ(1−x) =.(A) sin(πx) Désormais, on pose, pour toutx∈ E, 0 Γ (x) Ψ(x) =. Γ(x) 16) MontrerqueΨest strictement croissante.

17) Établir,que pour toutx∈ E, 1 Ψ(x+ 1) = Ψ(x) +. x

Le but des questions suivantes est de montrer que, pour toutx >0, " # m X 1 lim Ψ(x) +−lnm= 0. x+j m→+∞ j=0 On pose pour toutx >0, φ(x) = Ψ(x)−ln(x). 18) Montrerque la série de terme général(φ(n+ 1)−φ(n))converge.

19) Montrerque la suite(φ(n), n≥1)converge lorsque l’entierntend vers l’inﬁni. SoitCsa limite.

20) Établirque l’on a aussi:

21) Montrerque siC6= 0,

22) MontrerqueC= 0.

limφ(x) =C. x→+∞

Z x φ(t)dt∼Cx. +∞ 1

23) Conclureen considérantΨ(x+m+ 1).