Mathématiques II 2005 Classe Prepa HEC (ECS) ENSAE

pages

Français

Documents

2007

Lire

Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement

pages

Français

Ebook

2007

Lire

Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement

Publié par

bankexam

Publié le

18 mars 2007

Nombre de lectures

Langue

Français

Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques II 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2005 sur Bankexam.fr.

Voir

Publié par

bankexam

Publié le

18 mars 2007

Nombre de lectures

Langue

Français

2005 ENSAE

¾¼¼ Å Ø ÅÈ ¾
ÇÄ Æ ÌÁÇÆ Ä Ë ÈÇÆÌË Ì À ÍËË Ëº ÇÄ Ë Æ ÌÁÇÆ Ä Ë ËÍÈ ÊÁ ÍÊ Ë Ä³ ÊÇÆ ÍÌÁÉÍ Ì Ä³ ËÈ ¸ Ì ÀÆÁÉÍ Ë Î Æ Ë¸ Ë Ì Ä ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆË¸ Ë ÅÁÆ Ë È ÊÁË¸ Ë ÅÁÆ Ë Ë ÁÆÌ¹ ÌÁ ÆÆ ¸ Ë ÅÁÆ Ë Æ Æ ¸ Ë Ì Ä ÇÅÅÍÆÁ ÌÁÇÆË Ê Ì Æ º ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ´ Ð Ö ÌËÁµº ÇÆ ÇÍÊË ³ ÅÁËËÁÇÆ ¾¼¼

Ä³Ù×

ÈÊ ÍÎ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë Í Á Å ÈÊ ÍÎ Ð Ö ÅÈ ÙÖ Ð³ ÔÖ ÙÚ ÙÖ × ³ÓÖ Ò Ø ÙÖ ÓÙ Ð ÙÐ ØØ ×Ø ÒØ Ö Øº

ËÙ Ø Ñ × Ð ×ÔÓ× Ø ÓÒ × ÓÒ ÓÙÖ× Ý Ð ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð¸ ÆËÌÁÅ¸ ÆË ´ËØ Ø ×Ø ÕÙ µ¸ ÁÆÌ¸ ÌÈ ¹ ÁÎÈº Ä× Ò Ø× ×ÓÒØ ÔÖ × Ñ ÒØ ÓÒÒ Ö ÓÒ ÔÔ Ö ÒØ ×ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ð ÓÔ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ¾ ¹ Ð Ö ÅÈº Ø ÒÓÒ ÓÑÔÓÖØ Ô × Ø ÜØ º

Ë ¸ Ù ÓÙÖ× Ð³ ÔÖ ÙÚ ¸ ÙÒ Ò Ø Ö Ô Ö ÕÙ ÐÙ × Ñ Ð ØÖ ÙÒ ÖÖ ÙÖ ³ ÒÓÒ ¸ Ð Ð × Ò Ð ×ÙÖ × ÓÔ Ø ÔÓÙÖ×Ù Ø × ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ò ÜÔÐ ÕÙ ÒØ Ð × Ö ×ÓÒ× × Ò Ø Ø Ú × ÕÙ³ Ð ×Ø Ñ Ò ÔÖ Ò Ö º

½

ËÓ ÒØ A Ø B ÙÜ Ñ ØÖ × ×ÝÑ ØÖ ÕÙ × Mn (IR) ÓÒØ Ð × Ú Ð ÙÖ× ÔÖÓÔÖ × ×ÓÒØ ÒÓØ × Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ (ak , 1 ≤ k ≤ n) Ø (bk , 1 ≤ k ≤ n)¸ Ö Ô Ø × ×Ù Ú ÒØ Ð ÙÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø º ÇÒ Ú ÙØ ÑÓÒØÖ Ö Ð³ Ò Ð Ø
n

det(A + B) ≤ max

σ∈Sn

(ak + bσ(k) ),
k=1

´½µ
{1, · · · , n}º

Ó

Sn

× Ò Ð ÖÓÙÔ

× Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ×

Ð³ Ò× Ñ Ð

ÆÓØ Ø ÓÒ×
ÇÒ ÒÓØ Ô Ö . Ð ÒÓÖÑ Ù Ð ÒÒ ÒÓÒ ÕÙ ×ÙÖ Rn Ø ÓÒ ÑÙÒ Ø Mn (IR) Ð ÒÓÖÑ Ñ ØÖ ÐÐ ×Ù ÓÖ ÓÒÒ ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ ÐÐ Ö Ð × ÒÓØ Ø ÓÒ×¸ ÖÖ M ¸ ÓÒ ÒÓØ M t × Ñ ØÖ ÓÒ ÒÓØ Ö Ù×× . º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ñ ØÖ ØÖ Ò×ÔÓ× ¸ det(M ) ×ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø tr(M ) × ØÖ º Ä Ñ ØÖ ÒØ Ø Mn (IR) ×Ø ÒÓØ Iº ÍÒ Ñ ØÖ M ∈ Mn (IR) ×Ø Ø ×ÝÑ ØÖ ÕÙ ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒØ ¹ ×ÝÑ ØÖ ÕÙ µ ÐÓÖ×ÕÙ M = M t ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ M t = −M µº ÇÒ ÒÓØ Sn ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ An µ Ð ×ÓÙ×¹ ×Ô Ú ØÓÖ Ð × Ñ ØÖ × ×ÝÑ ØÖ ÕÙ × ´Ö ×¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒØ ¹×ÝÑ ØÖ ÕÙ ×µº

Ê ×ÙÐØ Ø× Ñ ×
ÇÒ Ñ Ø Ð × ÔÖÓÔÖ Ø × ×Ù Ú ÒØ × È½ Ë A Ø B ×ÓÒØ ÙÜ Ñ ØÖ × ÓÒ Ð × Ð × Ø × ÐÐ × ÓÑÑÙØ ÒØ¸ Ð Ü ×Ø ÙÒ × ÓÒ Ð × Ø ÓÒ ÓÑÑÙÒ A Ø B º È¾ Ë A Ø B ÓÑÑÙØ ÒØ ÐÓÖ× exp(A + B) = exp(A) exp(B).

Áº ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ×
½µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ
Mn (IR) = Sn ⊕ An .

¾µ ÇÒ ÒÓØ

ÈÓÙÖ M ∈ Mn (IR)¸ ÜÔÐ Ø Ö tr(M E(i,j)) Ò ÓÒ Ø ÓÒ × Ó Mº ¾

Mn (IR)º

(E(i,j) , (i,j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n})

Ð

×

ÒÓÒ ÕÙ ÒØ×

¿µ ËÓ Ø M ∈ Mn (IR) Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ñ ØÖ T ∈ An ¸ tr(M T ) = 0º Ä Ñ ØÖ M ×Ø¹ ÐÐ ×ÝÑ ØÖ ÕÙ ÓÙ ÒØ ¹×ÝÑ ØÖ ÕÙ µ ËÓ Ø T
∈ An ¸

ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ

eT

×Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð º
0¸

µ ËÓ Ø M ∈ Mn (IR). ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ s Ù ÚÓ × Ò
esM = I +sM + O(s2 ).

´¾µ
αj (M )

µ ËÓ Ø M ∈ Mn (IR)º ÈÓÙÖ j ∈ {0, · · · , n}¸ ÓÒ ÒÓØ X j Ò× Ð ÔÓÐÝÒ Ñ Ö Ø Ö ×Ø ÕÙ M
n

Ð Ó

ÒØ

det(M − X I) =
j=0

αj (M )X j .

ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ j ÓÒØ ÒÙ º

∈ {0, . . . , n}¸

Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ

(M → αj (M )) 0¸

×Ø

µ ËÓ Ø M ∈ Mn (IR). ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ s Ù ÚÓ × Ò
det(I +sM ) = 1 + s tr(M ) + O(s2 ),

Ø ÕÙ

det(I +sM + O(s2 )) = 1 + s tr(M ) + O(s2 ).

´¿µ

µ ÇÒ ×ÙÔÔÓ× ÕÙ M ∈ Mn (IR) Ò³ ×Ø Ô × ÒÚ Ö× Ð º ÓÒ×ØÖÙ Ö ÙÒ Ñ ¹ ØÖ N0 Mn (C) Ø ÐÐ ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ s > 0¸ ÓÒ Ø det(M + sN0 ) > 0. µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð³ÓÒ Ô ÙØ Ó × Ö N0 ¸ Ó ÒØ× Ö Ð×¸ ÓÒ Ð × Ð ´Ö ×¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ ×ÝÑ ØÖ ÕÙ µ × M ×Ø ÓÒ Ð × Ð ´Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ×ÝÑ ¹ ØÖ ÕÙ