Mathématiques II 2004 Classe Prepa HEC (S) HEC
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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.
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HEC 2004, math 2, option scientifique Touteslesvariablesale´atoiresquiinterviennentdansceproble`mesontde´finiessurunmˆeme espaceprobabilise´(Ω,F, P). L’objetdeceprobl`emeestlarechercheetl’´etudedeloisposse´dantunepropri´et´e,ditedestae´tilib, quiintervientdanslamod´elisationdenombreuxphe´nome`nessatisfaisantunecertaineinvariance d’e´chelle. •SoitXairavenuae´laelbu’entiuq(eustier´etoir.OndelleXk)k>1esesnetueal´irtobairaselaved suite de copiesdeXsi (Xk)k>1yasateanndpe´endiselbairavedetiuestunesleioˆmmetusetnot queX. •ui’aubnledvitaqreatOoneal´e´lerireelXsuit une loistableleiisenuetsixe´retiusellestrictement positive (an)n>1telle que, pour toute suite (Xk)k>1de copies deXet pour tout entierneriesup´ru oue´gal1,X1+∙ ∙ ∙+Xn, etanXetiu(de´tsaleˆetmon´vrefiifeemol.inOtl’uniciacilemenan)n>1 siXtpesuneu(asn’idnO.tneqsrolaarsqreepllemursˆuean)n>1est lasscotiaesu´ieeidloea`al X. ∗ On noteNe´agxua`(1erssup´erieursousne’lbmesedeitneli.e.{1,2,3, . . .}). 1π On admettra que∀A >0,ArctanAionAress’expo`ul=atnA+crctonniongisfaleatcre´dn A2 π π r´eciproquedelarestrictiondelafonctiontangente`a]−,[. 2 2 PartieI:Unr´esultatsurcertainessuitespositives Soit (un)n>1suitunese´lederestrictement positifsire´´tseusvinaets:erv´porpxuedseltnafii ∗2 - pour tout couple d’entiers (m, n)∈N, umn=umun, ∗2 -ilexisteunr´eelstrictementpositifAtel que, pour tout couple (m, n)∈N, sim6n, alors um6Aun. ∗α Onveutmontrerqu’ilexisteunr´eelpositifαtel que, pour tout entiern∈N,un=n. 1)Montrer queu1= 1. ∗k uple (r, k)∈N×N, u 2)Montrer que, pour tout cor=ur. k ∗ 3)Soitr∈N, r>ilexisteunr´eel.2oMtnerqr’uαrtel que, pour tout entiernde la forme k αr ru`o,kest un entier positif,un=n. Exprimerαren fonction deret deur. ∗2 4)Soit (r1, r2)∈N, r2> r1>ortninO.2slesr´eeduitalorslαr1etαr2´dfieinelsslaon questionpre´ce´dente. ∗k ` k+1 a)Soitk∈N. Montrer qu’il existe un entier`tel quer6rr <. 2 1 2 k+1k+1 k αrαrk αrαr b)riqeeu(du´endEr)6A(r() etr)6A(r) . 2 11 2 2 22 2 c)En faisant tendrek´etilage´’leriude´,dninfi’islervαr1=αr2. Conclure. Partie II :La loi gaussienne
Albgeuassnuveraainsit´ed’ondeladerpxeisselepp’lelraOnmedenneienneyomet de variance 2 σ: 2 1 (x−m) fm,σ(x) =√exp− 2 2 2σ 2 2πσ 1)Soitaue´rnlestrictement positifetbetcconques.edxu´reesluqle Trouvertroisr´eelsα, m, σ, que l’on exprimera en fonction dea,b,ctels que : 2 (x−m) 2 ∀x∈R,+α=ax+bx+c 2 2σ Z r +∞2 π b−4ac 2 2)nE´deruqdeiuexep−(ax+bx+c) dx.= exp a4a −∞ 0 3)SoientGetGeuxvariadceesr´ntssaunnieiotagserselbe´lancesariasdevnaetepdndne´eeis 2020 0 respectivesσetσ.Rrrentmo´eedallancculaentnsde´eitaleddioleG+G, queG+G estunevariablegaussiennedontondonneral’esp´eranceetlavariance. 4)Montrer queGaltstiuseuQ.eell`aeelolasseai´ocdienuleustibaeliotsG?
BDans cette section,Xuqaimdtenueunitoielabstetle´laeotaeqeriusiulbairavenutse 2 espe´rancemet une varianceσstrictement positive.On ne suppose pas queXsuit une loi gaussienne. Soit (Xk)k>1une suite de copies deXet (ak)k>1lalaioedosice´`easuiteaslX. 1)edsecnairavseltnra´eidnscoEnX1+∙ ∙ ∙+Xnet deanX, donner, pour tout entier naturel nnon nul, la valeur dean. Montrer quem= 0. 2)hte´roe`emedalilmitecentr´ee,monrerteuqplapEnlentuaiqXsuit une loi gaussienne.
Partie III :La loi de Cauchy a 1)Soita >ctonafelquerifier.0´Vnoifa:x7→nunedensestbiebobalititie´edrp.´e 2 2 π(x+a) (On utilisera le changement de variablex=atant). Onditqu’unevariableale´atoiresuitlaloideCauchydeparam`etreasi elle admet la fonction faopruedsntie´. 2)SoitZpedyhcuaCediolalntvauiesirtoeal´.1al`ae´eg`etraramunevariablea a)La variableZanare?ecneeup´esetdmll-e b)Soitλ >0. Quelle est la loi deλZ? 3)SoitPa`3aedurgpen´lnoinyoˆemedou´egal`f´erieurneic´rstlseeffieoc. Soientz1etz2deux nombres complexesdistinctsde partie imaginairestrictement positive. Montrer que siz1et z2sont des racines deP, alorsP= 0. (On remarquera quez1etz2segalont´rtcamenenise deP.) 0 ∗0 0 4)Soienta, a>0, ety∈R. Soient, v, vu, uetelsqulsertaee´ruq 0 a a 0 0 u+iv= etu+iv= 20202 2 π(y−ia) +a π(y+ia) +a π ou`i.entrgumdta’ele1omudexedlempcorembnolenegise´d 2 a)Montrer que : 0 00 0 aa vx+au v(x−y) +a u ∀x∈R, = + (∗) 2 22 202 22 202 π(x+a) (x−y) +a π(x+a)π(x−y) +a (On multipliera les deux membres de (∗nuoepdarnauptleriomcmanmee´tornuuera)pliq 0 laquestionpre´ce´denteenprenantz1=iaetz2=y+ia.) b)Onadmetnavi:setlit´essules´ega 0202 20 a(y+a−a) + 2iaa y u+iv= 202 202 π y+ (a+a)y+ (a−a) 2 2020 a(y+a−a)−2iaa y 0 0 u+iv= 202 202 π y+ (a+a)y+ (a−a) Montrer que : 0 a+a 0 u+u= 202 π y+ (a+a) Z Z B B x x−y 5)SoitB >0. Calculerdxet dx. 2 22 2 x+a(x−y) +a −B−B 6)SoientZaetZaanivestdntdasues´dninepeotaeserisal´ablevarideuxcuyhedolsiedaC 0 0 param`etresrespectifsaetalavaleuqdaledrueertron.Mt´edensioideelalZa+Zaau 0 0 pointyegt´e`alaseu+u(cf. question4.)´dnEeduirelaloideZa+Za. 0 7)uqenE´ddeiuerZlolaeidtiusssae´icoa`eeable.QuelleestlaustinuleiotsZ? 2
